高中立体几何问题

Question

设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α ( )

A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个

答案是D
求解释

Answer 1

面PAB和面PCD有一条交线L1，面PBC和面PAD有一条交线L2，这两条直线交于P且确定一个平面γ。

我们知道，若一个平面和一个已知平面上的一条直线平行，那么如果这个平面和已知平面相交，交线和那条直线也是平行的。

在本题中，若平面α平行于平面γ，就会平行于L1和L2，而L1在面PAB和面PCD上，L2在面PBC和面PAD上。在这时它截这个四棱锥，跟四棱锥的四个侧面形成四条交线，其中就会有两条与L1平行，另两条与L2平行，从而对边平行，使截面为平行四边形。

而对于这个四棱锥，平行于平面γ的截面有无数多个。