高中物理竞赛微积分

Question

空间中两点高度差H，什么轨迹使静止小球从A最快到B，最短时间多少
最好有证明

Answer 1

一楼的轨迹是抛物线中最节约时间的，但还有更节约时间的轨道！这是著名的最速降线问题。
两种方法可以来解决：
一、将其等效为光在折射率竖直方向连续变化的介质中传播轨迹。根据费马定理，利用较初等的微积分就能解决。
二、变分法。此方法是纯数学的，较难。我不详述。
结果轨迹是一条旋轮线。方程为
x=a(Θ-sinΘ) y=a(1-cosΘ)
a为常数Θ为参数
附第一种方法提示：
设A.B点水平距为L,A比B高H.B点处速度与竖直方向夹角为b,由折射定律，任意一点均有：
sinΘ=(h/H)�0�5*sinb
同时平方后将Θ用h关于x的倒数代替，即得一微分方程，再积分即可。

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Answer 2

过A点和B点的抛物线，且在A点处切线竖直，在B点处切线水平。

Answer 3

很有难度，好像条件不太全~~~