定积分计算

Question

如题所述

Answer 1

Answer 2

设 x - π/2 ＝ t
则 dx ＝ - dt
当｛x＝0→π/2｝时，｛t＝π/2→0｝
所以∫｛x＝0→π/2｝cosx /〔1 + sinxcosx〕 dx
＝ ∫｛t＝π/2→0｝ sint /〔1 + costsint〕 d（- t）
＝ ∫｛t＝0→π/2｝ sint /〔1 + sintcost〕 d t
＝ ∫｛x＝0→π/2｝ sinx /〔1 + sinxcosx〕 d x
所以 原积分 ＝ 0
注释： 本题目主要用到了一个重要结论：
∫｛x＝0→π/2｝ f(sinx) d x = ∫｛x＝0→π/2｝ f(cosx) d x
或者写为
∫｛x＝0→π/2｝ f(sinx，cosx) d x = ∫｛x＝0→π/2｝ f(cosx，sinx) d x
这样更精简的过程可写为：
根据重要结论： ∫｛x＝0→π/2｝ （cosx - sinx） /〔1 + sinxcosx〕 d x ＝ ∫｛x＝0→π/2｝ （sinx - cosx） /〔1 + cosxsinx〕 d x
则 2倍的原积分 ＝ 2M ＝ ∫｛x＝0→π/2｝ 〔（cosx - sinx） + （sinx - cosx）〕 /〔1 + sinxcosx〕 d x ＝ 0追问

不对，你连题目都没看对

Answer 3

你好，答案如图所示。

追问

可是du不等于dx啊

追答

在定积分中，这些变量可任意变换的，因为改变已经在积分限上
但不定积分就不可以这么做，一定要回代

追问

好的，谢谢☺

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