数学问题，求详细解答

Question

有16名学生参加一次数学竞赛。考题全是选择题，每题有四个选项。考完后发现任何两名学生的答案最多有一道题相同。问：这次竞赛最多有多少道选择题？

Answer 1

5道
第一次为下面组合（其中每列无顺序，表示都选AorB。。。）
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
则第二次5，9，13不能和1在一列，同样6，10，14不能和2.。。。
A B C D
1 2 3 4
6 7 8 5
10 11 12 9
14 15 16 13
第三次
A B C D
1 2 3 4
7 8 5 6
11 12 9 10
15 16 13 14
第四次
A B C D
1 2 3 4
8 5 6 7
12 9 10 11
16 13 14 15
即后三行进行整体轮换
此时1与5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16都有过相同选择
类似2与5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16也有过相同选择
。。。。。。
故第五次只能为
A B C D
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16
穷举完毕，无其他。

其实每个人和其他15人最多一个答案相同，可知题目数小于等于15/3=5,恰好又穷举出5题可以的组合，所以最多5题

Answer 2

这题说容易 容易 说难也难- -
题目说至多一题回答相同
但有16个学生 1道题目有4个选择。

那么 可以得出一点 一道题目一个选项 有且只有4个人选择。理由很简单。

因为至多只有一题答案相同 如果超出4人（别说少于4人，少的那个人不得选其他的。。）那么这一选项便是4+N 那么下一题其中一人选择A 那么剩下3个选择则有至少4个人选择，必定有两个人相同 那么这两人必定是两题答案相同 与题目相违背。所以

从题目中就可以得出这点结论 一道选项有且只有四人选择。
然后就好办了。

假设第一题 选择A的四人为 X1选B的四人为X2……
以A1为标准 他选择下一题的选项为X1Y1 那X1在第二题就分别为X1Y1 X1Y2 X1Y3 X1Y4
以下类推
（其实那Y可以取消掉的知道后面数字是什么意思就行了。）
然后根据题目 要求 除了最后一位 比如X1Y2 和X3Y2 X1Y3Z2和X3Y2Z2 前面的编号没有重复。
现在就好做了 只是简单的1234排列 无重复就行了。随便你怎么排 都不可能出现6位的数字 那么明显 至多只有5题

Answer 3

至多一题回答相同
但有16个学生 1道题目有4个选择。
那么 可以得出一点 一道题目一个选项 有且只有4个人选择。理由很简单。
因为至多只有一题答案相同 如果超出4人（别说少于4人，少的那个人不得选其他的。。）那么这一选项便是4+N 那么下一题其中一人选择A 那么剩下3个选择则有至少4个人选择，必定有两个人相同 那么这两人必定是两题答案相同 与题目相违背。所以 从题目中就可以得出这点结论 一道选项有且只有四人选择。
然后就好办了。 假设第一题 选择A的四人为 X1选B的四人为X2……
以A1为标准 他选择下一题的选项为X1Y1 那X1在第二题就分别为X1Y1 X1Y2 X1Y3 X1Y4
以下类推 其实那Y可以取消掉的知道后面数字是什么意思就行了。
然后根据题目 要求 除了最后一位 比如X1Y2 和X3Y2 X1Y3Z2和X3Y2Z2 前面的编号没有重复。
现在就好做了 只是简单的1234排列 无重复就行了。随便你怎么排 都不可能出现6位的数字 那么明显 至多只有5题
加油啊！