高等数学单调性证明题求大佬

Question

如图最后题求大佬

Answer 1

过程如图请参考

Answer 2

简单表达：

设f(x) = x - x^2/2 - ln(1+x), x>0

f'(x) = 1 -x - 1/(1+x), x > 0

f''(x) = 1/(1+x)^2 - 1, x >0

易知，当x >0，f'' 恒小于零； 意味着 f'(x) 是递减函数，f'(x>0) < f'(0) = 1，f'(Infinite) < 0; 意味着f(x) 先增后减，极值点x*满足f'(x*)=0。

现求解f'(x*)=1 -x* - 1/(1+x*)=0，易得x*=1 or x*=-1.

x*=-1 无意义，舍去

f(x) 先增后减，极值点x*=1；f(x>0) <= f(x=1) = 1 -1/2 - ln(2) 约等于-0.1931< 0

综上，由于f(x) 最大值小于零，故f（x）恒小于零，故 x - x^2/2 < ln(1+x), x>0

f(x) 曲线

Second:

易知 函数 g(x) = x - x^2/2 在 x > 0时，恒小于零；而函数h(x) = ln(1+x) 在x > 0区间恒大于零，且递增。因此，f(x) = g - h的几何意义是：曲线g(x)（x>0）上每个点下移h(x), 明显，原来g曲线在x=0下方，f也是，故x - x^2/2 < ln(1+x), x>0