等比数列性质证明

Question

若{A(n)}是等比数列，那么{A(n)+A(n+1)}是否是等比数列？

Answer 1

不一定
若q=-1
则a(n+1)=-an
an+a(n+1)=0
而等比数列中没有0
所以不是等比数列

若q≠-1
令bn=an+a(n+1)
则b(n+1)=a(n+1)+a(n+2)
an是等比
则a(n+1)=q*an
a(n+2)=q*a(n+1)
所以b(n+1)/bn=q[[an+a(n+1)]/[an+a(n+1)]=q
是等比数列

Answer 2

是的。 因为A(n)=A(1)*q^(n-1), A(n)+A(n+1)=A(1)*q*(n-1)+A(1)*q^n=A(1)*(1+q)*q^(n-1), 后项比前项（A(n+1)+A(n+2)）/（A(n)+A(n+1））=q。因为后项比前项是常数，所以还是等比数列。

Answer 3

由题意可得：公比q不等于0
令B(n)=A(n)+A(n+1)=A(n)+qA(n)=(1+q)A(n),
则B(n+1)=(1+q)A(n+1)=(1+q)qA(n)，
B(n+1)/B(n)=1/(1+q)q;
所以B(n)是以1/(1+q)q为公比的等比数列

Answer 4

式子不好写，呵呵

A(n+1)=A(n)*k k≠0，-1
A(n+2)=A(n+1)*k
得到
A(n+2)+A(n+1)=[A(n+1)+A(n)]*k
所以{A(n)+A(n+1)}是等比数列，比例还是k不变

k=-1时，数值都是0，不是等比数列了

Answer 5

不一定。
设{A(n)}公比为q,则An=A1*q^(n-1)
我们有
[A(n+2)+A(n+1)]/[A(n+1)+A(n)]
=A1*[q^(n+1)+q^n]/A1*[q^n+q^(n-1)]
=[q^(n+1)+q^n]/[q^n+q^(n-1)]
=[q^n+q^(n-1)]q/[q^n+q^(n-1)]
当q=-1时，q^n+q^(n-1)=0，此时{A(n+1)+A(n)}各项均为0，不是等比数列
当q不等于-1时，上式比值为q.这说明后一项比去前一项等于定值q.所以是等比数列。