函数的概念是数学中的基本概念之一，它表示了一种关系：给定一个输入值，有一个唯一的输出值与之对应。这个关系被定义为一个函数。
函数有两个主要组成部分：定义域（或输入集）和值域（或输出集）。
定义域：这是函数接受输入的值的集合。换句话说，这是我们可以向函数提供的输入值的范围。例如，如果函数是 f(x) = x^2，那么 x 的值只能是负数、零或正数。因此，定义域是所有负数、零或正数的集合。
值域：这是函数返回输出的值的集合。换句话说，这是函数可能返回的所有值的范围。继续上面的例子，f(x) = x^2 的值域是所有非负数的集合，包括零。
定义域和值域的主要区别在于：定义域关注的是输入，即你可以向函数提供什么值，而值域关注的是输出，即函数可能返回什么值。
此外，定义域和值域之间还存在一种映射关系。定义域中的每个元素都映射到值域中的一个元素。在上述例子中，任何正数、零或负数作为输入都将映射到一个正数作为输出。这就是为什么说函数是一种关系：它描述了如何从输入得到输出。
总结一下，定义域和值域是函数的两个重要属性，它们描述了函数的工作方式和接受/返回的值的类型。理解这些概念对于理解函数和其在数学、科学和工程中的应用至关重要。
如果期望是常数，那么求导即为0；如果期望是函数的形式，理论上可以先求导然后再求期望，例如期望为E[f(x)]=F(x)(这里仅为了说明是x的函数)，那么dE[f(x)]/dx=E[df(x)/dx]=F'(x)。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”
所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
元素：
输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。
计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。