下面是8个常用泰勒公式示例：
1.正弦函数展开：对于正弦函数sin(x)，可以展开为以下泰勒级数：sin(x)≈x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+...其中每一项都是一个常数和x的幂次的乘积。展开后的图像将会显示出函数的曲线逐渐趋近于x轴，但仍然存在一定的波动。
2.余弦函数展开：对于余弦函数cos(x)，也可以展开为类似的泰勒级数：cos(x)≈1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+...同样，每一项也是常数和x的幂次的乘积。展开后的图像会显示出函数的曲线在x=0时达到最大值，并且随着x的增加逐渐趋近于x轴。
3.正切函数展开：对于正切函数tan(x)，也可以使用泰勒级数进行展开：tan(x)≈x+x3/3+2x5/15+3x7/35+...展开后的图像会显示出函数的曲线在x=π/2时达到最大值，并且随着x的增加逐渐趋近于直线y=x。
4.对数函数展开：对数函数ln(x)可以展开为以下形式：ln(x)≈x-x2/2+x3/3-x4/4...展开后的图像会显示出函数的曲线在x=1时达到最大值，并且随着x的增加逐渐趋近于直线y=x。
5.指数函数展开：指数函数e^x可以展开为以下形式：e^x≈1+x+x2/2!+x3/3!+...展开后的图像会显示出函数的曲线在x=0时达到最大值，并且随着x的增加逐渐趋近于直线y=e^x。
6.幂函数展开：对于幂函数ax^n，当n为奇数时，可以展开为以下形式：ax^(n+1)≈1+n*x+n*(n+1)/2!*x^2...当n为偶数时，可以展开为以下形式：ax^(n+1)≈a+n*(a-1)*x+(n*(n-1)/2!)*(a-1)*x^2...展开后的图像会显示出函数的曲线在x=0时达到最小值，并且随着x的增加逐渐趋近于直线y=ax。
7.对数级数展开：对数级数ln(1+x)可以展开为以下形式：ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-...(当|x|<1时)。这个展开式可以帮助我们理解ln(1+x)的近似表达，这对于一些需要处理小数值的场景非常有用。这个展开还可以帮助我们理解更高阶的泰勒级数的概念和性质。
8.二阶泰勒公式展开：对于一个一元函数f(x)，如果它在某一点的附近具有足够好的连续性和导数值，那么就可以使用二阶泰勒公式进行展开。二阶泰勒公式可以提供该点附近函数的更精确的近似。这个展开可以帮助我们理解二阶泰勒公式的概念和性质。展开后的图像会显示出函数的曲线在某一点附近具有更好的平滑性。