数学不等式中的问题
比如z=y/x z可以看成一系列过原点直线的斜率
比如z=2x+3y z可以与一系列斜率为-2/3的直线有关
又比如z=x^2+y^2 z可以与一系列圆心在原点的圆的半径有关
那z=x^2-xy+y^2又有什么几何意义呢？
如题：
x ，y满足|x|+|y|<=1 则z=x^2-xy+y^2 中 z的最大值 z的最小值分别是？
回复楼上的说法，楼上此言差矣，不懂高中教学不要乱说，我是高中生，我明白还是你明白？高中阶段在矩阵变换选讲中要求掌握恒等变换、平移变换、旋转变换、伸缩变换等变换，这些知识在高考中会涉及到！
另外，楼主问的是z=x^2-xy+y^2又有什么几何意义，这个是可以通过转化得到的，数学之美就在于能把不会的问题转化成熟悉的问题，我们需要的是灵活而不是从网上生搬别人的一种解法！再说了，楼上的解法并不好，事实上不用数形结合我们有更简单的做法：
以下介绍最简单的几何解法：
我们将x和y看作是距离，将你所要求的z=x^2-xy+y^2看作余弦定理模型，但对于xy项要作讨论：
首先可以确定的是z=(x-y/2)^2+3y^2/4，显然z一定大于等于0所以√z有意义，可以看作长度。
1.若xy>=0，则xy=|x||y|，所以此时
z=|x|^2+|y|^2-|x||y|根据余弦定理的模型，上式可改写为z=|x|^2+|y|^2-2|x||y|cos(π/3)，由于此时z满足余弦定理，于是|x|,|y|,√z必可构成三角形三边长。将|x|和|y|看作两条夹角为π/3的两条边，则√z就为第三条边的长。由三角不等式，有||x|-|y||<=√z<=|x|+|y|<=1
则、显然z<=1，而此题中可以有x=y，于是||x|-|y||>=0
所以z>=0。综上0<=z<=1。
2.若xy<0.则xy=-|x||y|
所以此时z=|x|^2+|y|^2+|x||y|=|x|^2+|y|^2+|x||y|=|x|^2+|y|^2-2|x||y|cos(2π/3)。
此时也可画出图形，这是|x|和|y|夹角为2π/3
仍然可由三角不等式可得0<=||x|-|y||<=√z<=|x|+|y|<=1
同样可得z的取值范围是0<=z<=1
综合1,2，z的范围是0<=z<=1
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以下回答楼主的问题：
事实上z=x^2-xy+y^2的几何意义和z=x^2+y^2是一样的。
z=x^2-xy+y^2通过适当的旋转和伸缩可以得到z=x^2+y^2。它们可以变换成同一种图形。
我们作顺时针旋转π/4角的旋转变换，并作伸缩变换：
设：
x=u+v
y=u-v
这样我们将图形x^2-xy+y^2旋转π/4角
可得z=x^2-xy+y^2=u^2+3v^2
再作v轴方向伸缩变换，令√3v=t
所以z=u^2+t^2
条件可化为：|u+t/√3|+|u-t/√3|<=1
在新的u-t坐标系中画出图形即可。
我画过，这个图形是一个长为√3宽为1的矩形，然后我们数形结合，求z=u^2+t^2的取值范围就可以了。显然，当这个矩形内接于圆的时候半径最大，这时候半径为：√[(√3/2)^2+(1/2)^2]=1。最小显然可以取到0
综上z的范围是[0,1]
如果还是不明白的的看下图，阴影表示可行域（图片点击放大)：
x^2-xy+y^2中含有xy项，高中阶段不研究曲线情况。对于这种题，不需要数形结合法。
解：
设x=(rcosa)²，y=(rsina)²。（0≤r≤1）
则
x^2-xy+y^2
=r^4[(cosa)^4-(sinacosa)²+(sina)^4]
=r^4[1-3(sinacosa)²]（注：(sina)^4+(cosa)^4=[(sina)²+(cosa)²]²-2(sinacosa)²）
=r^4[1-3(sin2a)²/4]
∵0≤(sin2a)²≤1
∴1/4≤1-3(sin2a)²/4≤1
∴0≤r^4[1-3(sin2a)²/4]≤1
∴z的最大值1，最小值0.
x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy
(1/4)(x+y)^2<=x^2-xy+y^2<=(7/4)(x+y)^2
而0<=(x+y)^2<=(|x|+|y|)^2<=1
0<=z<=7/4 但7/4是取不到的
于是分情况讨论
1、x,y同号
z=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy<=(x+y)^2<=1
2、x,y异号
z=x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy<=(x-y)^2=(|x|+|y|)^2<=1
故z的最大值1 最小值0
z=x^2-xy+y^2的几何意义是一个椭圆 通过坐标轴的旋转可以得到
有兴趣自己可以试一下
我们注意到：
x^3-3x^2+5x-3=-2；
y^3-3y^2+5y-3=2；
我们设f(x)=x^3-3x^2+5x-3(1-3=-2,5-3=2,互为相反数)
下面我们求f(x)的导数=3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2关于x=1,对称，我们知道，奇函数的导数关于x=0对称。
所以f(x+1)
=(x+1)^3-3(x+1)^2+5（x+1)-3
=x^3+2x是奇函数。
所以f(x)是一个奇函数向右平移一个单位得来的（这点很重要）
令g(x)=f(x+1)=x^3+2x,显然是个奇函数；
我们令p+1=x;q+1=y;
g(p)=f(p+1)=f(x)=p^3+2p=-2;
g(q)=f(q+1)=f(y)=f(q+1)=q^3+2q=2;
所以,p+q=0（注意，这是为什么）;
而p=x-1;q=y-1;
即：
x-1+y-1=0;
得到：x+y=2;解毕#