【斐波那契数列的应用】数学游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯,对他的地毯匠朋友说:“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺,宽5英尺的长方 形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异,因为两者之间面积相差达一平方英尺呢!可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的!
这真是不可思议的事!亲爱的读者,你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢?
实际上后来缝成的地毯有条细缝,面积刚好就是一平方英尺。
斐波那契数列在自然科学的其他分支,也有许多应用。例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3、5、8、13、21、……
斐波那契螺旋
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条。
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系
现有长为144cm的铁丝,要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为多少?
分析:由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条线段就是2(为了使得n最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和),依次为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10。
我们看到,“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用,正是这个最小数1产生了斐波那契数列,如果把1换成其他数,递推关系保留了,但这个数列消失了。这里,三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中,144>143,这个143是斐波那契数列的前n项和,我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去,如果加到其他数上,就有3条线段可以构成三角形了。斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8………………………翠雀花
13………………………金盏草
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词,意即叶子的排列)比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
后一个数是前两个数的和。繁分数分母总是大于1,所以的值总是小于1
而分子总是取先前的分母,除了第一次分子分母均是1时,值等于1/2,后来的值均大于1/2
而每次计算繁分数时,繁分数分母中的分母总是不变,分子总是先前分子与分母之和
这就完全符合斐波那契数列的展开规律
那么这个最简单的无穷连分数的值是多少呢?
也就是斐波那契数列连续两项之比的极限是多少呢?
设:x=1/(1+1/(1+1/(1+...)))
显然有:x=1/(1+x)
即:x^2+x-1=0
x=(√5-1)/2=0.618...(舍去负值)
这就是黄金分割比例,也是斐波那契数列连续两项之比的极限
这就是楼主所说的:“越来越接近黄金比例”的原因。
所谓“随n的增加,两数之间的差距越来越小”,其实就是越来越接近极限嘛。
那为什么“任意两数不断相加”都这样呢?
黄金分割比例其实是个中外比的问题:
所谓中外比,就是分已知线段为两部分,使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。
如果把较长的一段设为x,则较短的一段为1-x
所以,x^2=1*(1-x) 【其中“1”表示全线段】
即:x^2+x-1=0,与上面解最简单的无穷连分数的方程完全一致
注意这里的全线段用1来表示,这就是说求黄金分割比例与线段的实际长度无关
同样道理,对于斐波那契数列的展开,如果考察的是前后两项的比例
那么,从哪两个数开始相加,就是无所谓的了
因为总是两个数中的大数与两数和之比,这与黄金分割的中外比完全是一个意思
况且除了第一个比值还不是与“和”比之外,其他所有比值总是在0.5和1之间
如果开始的两个数不相同,那么:m,n,m+n,m+2n,2m+3n,3m+5n,...
可见还是按斐波那契数列规律在展开,当然这是大致理解,严格的证明要看相关资料
再想想看,如果斐波那契数列最开始两个数是1和2呢?不同了吧。
还不是一样展开,除少了第一项外,其他并没有什么不同。
如果开始的两个数相同,那么:m,m,2m,3m,...其实就是斐波那契数列,
只是每个数差个m倍而已,完全不影响连续两项之比的值。而且从第3项开始,a前的系数恰好构成斐波那契数列;
从第2项开始,b前的系数恰好构成斐波那契数列;
于是,由斐波那契数列通项公式有:
第n个数a前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-2) - [(1-√5)/2]^(n-2)}
第n个数b前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-1) - [(1-√5)/2]^(n-1)}
所以第n个数(n≥3)为:
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-2) - [(1-√5)/2]^(n-2)}*a+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-1) - [(1-√5)/2]^(n-1)}*b。
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