已知函数fx对任意实数x,均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(2)=4

Question

(1)证明f(x)是R上的增函数；
(2)求不等式f(a^2-2a-2)<3的解集
要详细过程，谢谢

Answer 1

已知函数f(x) 对任意实数xy均有f(x+y)+2=f(x)+f(y)，且当x>0时，fx>2，f（2）=4
(1)证明fx是R上的增函数
(2)求不等式f（a²-2a-2）<3的解集
(1)解析：∵函数f(x)满足对任意x,y∈R，均有f(x+y)+2=f(x)+f(y)成立
令x=y=0代入得f(0+0)+2=2f(0)==>f(0)=2
∵x>0时，f(x)>2
当x<0时，令y=-x，则f(x+y)+2=f(0)+2=f(x)+f(-x)==>f(x)+f(-x)=4
f(-x)=4-f(x)
设x1<x2,即x2-x1>0
f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)+2==>f(x2)-f(x1)+4=f(x2-x1)+2
==>f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2
∵当x>0时，f(x)>2
∴f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)是R上的增函数
(2)解析：∵不等式f(a^2-2a-2)<3，f(2)=4
令x=y=1==>f(1+1)+2=2f(1)==>f(1)=3
f(a^2-2a-2)<f(1)==> a^2-2a-3<0==>(a-3)(a+1)<0==>-1<a<3

Answer 2

　　(1).任取x、y∈R+，则x+y>x，那么f(x+y)-f(x)=f(y)-2>0，即f(x+y)>f(x)。故f(x)是R+上的增函数。
　　对于负数而言，先用赋值法，令x=2,y=0,可求得f(0)=2，再令y=-x，可得到f(x)+f(-x)=4，那么f(x)=4-f(-x)，对于x∈R-时，同样可以由上式看出其为增函数。综上，f(x)是R上的增函数。

　 （2）利用赋值法：令x=y=1，代入f(x+y)+2=f(x)+f(y)，则有f(2)+2=2f(1)，由于f(2)=4，可求出f(1)=3。由于f(x)是R上的增函数，故a^2-2a-2<1，最终解得-1<a<3