已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x， （Ⅰ）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；

Question

已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x，
（Ⅰ）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明β-α＜6。

Answer 1

f(x)=(x³+3x²+ax+b)e^-x
f'(x)=(3x²+6x+a)e^-x-(x³+3x²+ax+b)e^-x
a=b=-3
f'(x)=(3x²+6x-3-x³-3x²+3x+3)e^-x
=(-x³+9x)e^-x
驻点x=0 x=±3
f''(x)=[-3x²+9+x³-9x]e^-x
f''(0)>0
f''(±√3)<0
∴x=0是极小值点，x=±3是极大值点
∴x∈(-∞,-3)∪(0,+3) 为单调递增区间
x∈(-3,0)∪(+3,+∞) 为单调递减区间
（Ⅱ）若f(x)在(-∞,α)，(2,β)单调增加，在(α,2)，(β,+∞)单调减少
则x=2是极小值点
f'(x)=(3x²+6x+a)e^-x-(x³+3x²+ax+b)e^-x
f'(2)=(12+12+a-8-12-2a-b)=0→a+b=4
f'(x)=[-x³+(6-a)x-4+2a]e^-x
=(-x²-2x+2-a)(x-2)e^-x (x=2是极小值点）
∴α,β是x²+2x-2+a=0的两根，且α<2<β (极大值点在极小值点x=2的两侧）
Δ=4+8-4a>0→a<3
-1-√(3-a)<2 恒成立
-1+√(3-a)>2→√(3-a)>3
∴β-α=2√(3-a)>6