高数面积积分？

Question

如题所述

Answer 1

需要计算曲面 Σ：x² + y² + z² dS 的面积，其中曲面 Σ 是由平面 x = 0 和 y = 0 以及球体 x² + y² + z² = a² (x 等于等于 0, y 大于等于 0) 所围成的封闭曲面。
首先，我们可以通过对球体进行参数化来求解该曲面的面积积分：
设参数化变量为 φ 和 θ，其中 φ 表示纬度角（从北极到赤道的角度），θ 表示经度角（从零度子午线开始的角度），那么有：
x = 0
y = a * sin(φ) * cos(θ)
z = a * sin(φ) * sin(θ)
接下来，我们需要计算该曲面的面积元素 dS。根据面积积分的定义，dS 可以表示为：
dS = |rₓ × rᵧ| dA
其中 rₓ 和 rᵧ 分别表示参数曲面在 x 和 y 方向上的偏导数向量，dA 表示参数平面上的面积元素。
通过对参数化变量 φ 和 θ 进行求导，我们可以得到：
rₓ = (0, a * cos(φ) * cos(θ), a * cos(φ) * sin(θ))
rᵧ = (0, -a * sin(φ) * sin(θ), a * sin(φ) * cos(θ))
因为 x = 0 和 y = 0 两个平面在 xy 平面上的投影轮廓为一个半圆形，所以我们可以将积分限定在该半圆形上。由于球体位于 x 轴负半轴以下，所以对于 y > 0 的部分，我们需要从 φ = 0（即 y 轴）开始积分；对于 x = 0 的部分，则需要从 θ = 0 积分到 θ = π。
因此，可以得到曲面 Σ 的面积为：
∫∫Σ x² + y² + z² dS
= ∫₀^π ∫₀^π/2 (a² * sin²(φ) * cos²(θ) + a² * sin²(φ) * sin²(θ) + a² * cos²(φ)) * a² * sin(φ) dθ dφ
= 2πa⁴/2
因此，曲面 Σ 的面积为 πa⁴。
不一定对哈，临时算的
下面是百度搜的
高数面积积分是微积分学中的一个重要概念，用于求解平面区域的面积。根据积分定义，如果一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且非负，那么该函数在 [a, b] 范围内的曲边梯形面积可以近似表示为：
S ≈ ∑(f(x[i]) * Δx[i])
其中，Δx[i] 表示第 i 个小矩形的底边宽度（也可以理解为分割区间的长度），f(x[i]) 表示第 i 个小矩形的高度。
当分割数量 n 越来越多，Δx[i] 趋近于 0 时，上式开头的 ≈ 符号可以变成 = 符号，即：
S = ∫[a, b] f(x) dx
上式右边的 ∫ 符号就是面积积分符号，被积函数 f(x) 就是要计算的函数，dx 表示自变量 x 的微元素。
因此，我们可以使用面积积分求解任意连续且非负函数在指定区间上的曲边梯形面积。