无穷小量与函数极限的关系如下:
一个有极限函数跟一个无极限函数的乘积有可能是有极限的。
实例1:
f1(x)=1/x^2,f2(x)=x;f(x)=f1(x)*f2(x)=1/x,
在x趋于无穷时,f1(x)极限为0,f2(x)无极限(也称之为极限为无穷),而f(x)极限为0.
分析:这一类实例中,f1为去穷小;f2无极限,是无穷型的,所以其倒数为无穷小;只要f1比f2的倒数更高阶,这个乘积就一定是无穷小。
实例2:
f1(x)=1/x^2,f2(x)=sin(x);f(x)=f1(x)*f2(x)=sin(x)/x^2,
在x趋于无穷时,f1(x)极限为0(即:f1(x)为无穷小),f2(x)无极限(震荡型,但是有界,|f2(x)|<=1),而根据定理“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”可知f(x)也为无穷小,因此极限为0.
分析:这一类实例中,f1为去穷小;f2无极限,是有界的,无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小,因此乘积也为无穷小。
所谓极限是指:在自变量的某个极限变化过程中,函数无限趋向于某个常数A,这个常数称为这个函数在自变量的这个变化过程下的极限。
也就是说,极限是一个数。而无穷小是指:在自变量的某个变化过程中,若函数α以0为极限,这个函数称为自变量的这一变化过程中的一个无穷小(量)。可见,无穷小是一个函数。
性质:
1、无穷小量不是一个数,它是一个变量。
2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3、无穷小量与自变量的趋势相关。
4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。