已知点P在抛物线y=(1/4)x^2上，F为抛物线的焦点，点A（1,1），则PF+PA的最小值？

Question

如题所述

Answer 1

解：
设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：
|PF|=|PH|
,
|P'F|=|P'H'|
(抛物线上的点到焦点和准线的距离相等）
∴
|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH|≥|AH’|
（△PAH中两边之和大于第三边，直角△AH'H中，斜边大于第三边）
当H点与H’重合时，P点与P’点重合，取等号，
此时|AH’|
=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|
　　所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，
而准线方程y=-1
　点A(1,1)到准线的距离AH'=2　
故|PA|+|PF|的最小值是2，此时，P’的坐标是（1，1/4）

Answer 2

F的坐标是(0,1)
准线
的方程是y=-1
y=(1/4)x^2经过(1,1/4)
所以A(1,1)在
抛物线
上方
PF+PA最小时，可做AB⊥y=-1，此时|AB|=2
当P(1,1/4)时PF+PA最小，是2

Answer 3

过p作pd⊥准线，交准线于d。
则pf=pd
所以pa+pf=pa+pd>=ad,
再过d作de⊥准线，交准线于e。
则ad>=de,所以当p
a
e三点共线的时候pa+pf最小。
此时最小值为：2+(1/4)=9/4
希望满意

Answer 4

x²=4y
焦点
F（0,1）
准线
L:
y=-1
PF+PA=PA+P到L的距离
由平面几何知识，点到直线的垂线段最短
P为过A的L的垂线与抛物线的交点
此时
最小值为A到直线的距离=2