一道好难的数学题（速回）

Question

有一个正方形ABCD，连接一条对角线，上面有一动点M，连接AM,BM,CM。现在要使AM+BM+CM的值最小，请问M在何处？（没有任何具体数字，可以自己带入）
P.S:我是一名初三学生自认为数学很好，但遇到这题就囧了，又不愿意在同学们面前认输，所以上来求助下，望各位大虾帮帮忙。
真可惜，你们的我算过了，都很长不是最短的，我目前算的最短的是M在BO上距离点O 1/3处（O点是ABCD的中点也就是对角线交点）（好多人没想到其实MB越小AM+CM就越大）所以请大家继续答题，不要随便答题，再怎么说我也初三了，你们的想法我也想过了，但还是要感谢大家踊跃答题。
补充下：M只能在BD上，不可以与定点重合
刚刚看了十楼和我想的一样，但我想知道具体位置，所以请大家借鉴十楼的，帮忙想下

Answer 1

正方形ABCD的对角线有两条，你的意思是说M在BD上么？如果是的话，那么：
首先，显然M在三角形ABC内部。
其次，记三角形ABC的费马点为F。那么三角形ABC中任意一点M到A、B、C三点的距离之和AM+BM+CM都不会比AF+BF+CF更短了。
（注意，请自己百度什么叫“费马点”。这是本题答案的关键）
那么做法就是这样：三角形ABC是等腰直角三角形，角B是90度。
过C点做一条射线，这条射线与BC的夹角是15度。这条射线交BD于F。这个F就是三角形ABC的费马点，同时也是题目所需要的点。
下面只需要说明F是费马点。即，角AFB=角BFC=角CFA=120度。
在三角形BCF中，角FCB=15度（射线就是这么做的），角FBC=45度（显然），所以角BFC=120度。（内角和定理）
显然有三角形AFB全等于三角形CFB（正方形邻边相等，BF=BF，夹角45度，SAS判定），所以角AFB也是120度。
F点的那个周角是360度，现在已经算出来两个120度了，所以剩下那个（角CFA）也是120度。
所以F是三角形ABC的费马点。
所以所求的“到三角形三个顶点距离之和最短的点”就是F。
请参考费马点的定义和性质。

Answer 2

你的题目貌似有问题
1.如果M在AC上，那么显然只要BM最短就行了，此时M为AC中点
2.如果M在BD上，则设正方形边长为2，连结AC交BD于O
显然M在线段BO上才满足题意，设OM为x
容易求得BO=AO=CO=√2
则BM=√2-x
AM=CM=√(2+x²)
AM+BM+CM=2√(2+x²)+√2-x
这个求最小值不是初中的题
至少这个最小值不是BD中点，也不是B点，因为我试过了，M取OB中点时要比M与B重合时更小。

如果本题改为AM+BM+CM+DM最小的话那么毫无疑问就是AC和BD的交点了，只要用三角形两边之和大于第三边就可以轻松说明。
希望对你有帮助

Answer 3

连接的那条对角线未定，

如果是AC，即M在AC上
则AM+BM+CM=AM+CM+BM=AC+BM，AC是定值，使AM+BM+CM最小，就是要BM最小，从B点到AC的连线最短只有垂线啦，而正方形的对角线相互垂直平分，故此时M就是AC的中点，也是对角线BD和AC的交点

第二种情况，如果连接的是BD，M在BD上,当M从点D出发向B移动时，BM一直是减小的。
由于三角形两边和大于第三边，故AM+CM>AC，当M点向对角线交点靠近时，三角形ACM逐渐变得扁平，这种差距（就是AM+CM-AC）逐渐减小。

一旦M达到对角线交点，AM+CM达到最小，即AC

M点继续前进，AM+CM反而开始增大，BM仍旧减少，问题的关键是AM+CM增大的幅度和BM减少程度比较，哪个更大更快？

最快的方法，就是直接计算两种极端（M在对角线交点和M走到头在B点上）的数值
假设正方形边长为1
前者=3*（1/2）*√2
后者=2<前者

因此此种情形下，M就是B点

Answer 4

我告诉你：

no！
当am在两条对角线相交处

Answer 5

画个正方形ABCD，连接BD，取一点M，设BM长为X，另设正方形的对角线的一半长度为1，（方面到时候算几分之几）那么，边长就是√2。
我们来算一下这三条线段长为：x，√1+（1-x）2，√1+（1-x）2，】
之和就是X+2√[1+（1-x）2]，取最小值

然后最小值不会求了。。
不好意思

Answer 6

1、 M在BC上 CM+BM=BC AM最小时 和最小
2、M在ad上 cm=bm 即bm+cm大于等于bc
am（0-ad）am=1/2ad 和最小