方向导数和梯度的实际应用

Question

如题所述

Answer 1

方向导数和梯度的实际应用是：方向导数是沿着某个方向的变化率，梯度是变化最大的方向。

方向导数的本质是一个数值，简单来说其定义为：一个函数沿指定方向的变化率。因此，构建方向导数需要有两个元素： 函数和指定方向。当然，与普通函数的导数类似，方向导数也不是百分之百存在的，需要函数满足在某点处可微，才能计算出该函数在该点的方向导数。

梯度与方向导数是有本质区别的，梯度其实是一个向量，其定义为一个函数对于其自变量分别求偏导数，这些偏导数所组成的向量就是函数的梯度。诚然，这种定义方法更加权威，但是却不够直观，这也是为什么我在高等数学课堂上学习梯度概念时感觉云里雾里。

这种定义方法只针对二元函数，所以公式中的i，j可分别表示为函数在x和y方向上的单位向量，这样的描述可以让我们更好理解（因为人类大脑可以比较轻松的理解三维世界的模型图），但是一旦到了更高维度的世界，单纯靠这个公式就不容易理解了。

方向导数与梯度的关系：

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。依然采用下山的例子来解释。我们想要走到山下，道路有千万条，但总有一条可以让我们以最快的速度下山。

当然，这里的最快速度仅仅作用在当前的位置点上，也就是说在当前位置A我们选择一个方向往山下走，走了一步之后到达了另外一个位置B，然后我们在B位置计算梯度方向，并沿该方向到达位置处c，重复这个过程一直到终点。但是，如果我们把走的每一步连接起来构成下山的完整路线，这条路线可能并不是下山的最快最优路线。