这个怎么算出来的

Question

高数

Answer 1

夹逼定理的证明方法：

一、如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：

（1）当n>N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，

（2）{Yn}、{Zn}有相同的极限，设为-∞<a<+∞则，数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞，limXn =a。

证明：因为limYn=a limZn=a 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1，N2，当n>N1时 ，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε，∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε，a-ε<Zn<a+ε，有 a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε，即∣Xn-a∣<ε成立。也就是说

根据以上三明治定理。 由于1+i^2/n^2<=1+（i^2+1)/n^2<=1+(i+1)^2/n^2，

因此 以下的表达式对i都是从1到n求和 Σ（1/(n+(i+1)^2/n^2)）*1/n<=Σ（1/(n+(i^2+1)/n)） =Σ（1/(1+(i^2+1)/n^2)）*1/n<=Σ（1/(1+(i^2)/n^2)）*1/n，

上面的不等式左边 =Σ（1/(1+(i^2)/n^2)）*1/n+1/(1+(n+1)^2/n^2)*1/n--1/(1+1^2/n^2)*1/n，乘开化简得到你那个式子。

以上资料来自<数学定理多，蒙上作业网网友>回答，仅供参考。

PS:结果：第一项的极限是积分（从0到1）1/(1+x^2)dx，第二，第三两项的极限是0， 不等式右边的极限也是积分（从0到1）1/(1+x^2)dx，因此 原表达式的极限是积分（从0到1）1/(1+x^2)dx=pi/4。

Answer 2