矩阵秩的公理是什么？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵秩的公理有以下几个：

秩的定义：一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，或者等价地定义为行（或列）向量组的极大线性无关组中向量的个数。

秩的性质：矩阵的秩满足一些基本的性质，如若矩阵A可逆，则其秩等于其行数或列数；若矩阵A是方阵，则其秩等于其行列式值与维数的关系；若矩阵A是行阶梯形矩阵，则其秩等于其非零行的行数。

秩的运算：矩阵的秩满足一些运算性质，如若矩阵A和B满足一定的条件（如A是mn矩阵，B是np矩阵，且A的列向量与B的行向量正交），则AB的秩满足一定关系。

Answer 2

只考虑对角阵，则矩阵的秩表示对角元中多少个非零，矩阵的迹表示所有对角元的和。所以如果对角阵的对角元全为0或1（即投影矩阵），秩一定等于迹。不然除非对角阵的对角元非常特殊，例如二阶对角阵的两个对角元为3和-1，则秩=迹=2；如果两个对角元为3和0，则秩=1，迹=3
对于一般的矩阵，由特征值求秩时还要考虑特征值0对应的特征子空间的维数，问题显得更复杂。但除非很特殊的情况（例如投影矩阵），秩一般不等于迹