取对数求导法

Question

如题所述

Answer 1

对数求导法
对数求导法是一种求函数导数的方法。 取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。 对数求导法应用相当广泛。

中文名
对数求导法

领域
数学

作用
求函数导数

优点
求导运算计算量大为减少定义
对求导的函数其两边先取对数，再同求导，就得到求导结果。

这种求导方法就称为取对数求导法[1]。简称对数求导法。

原理
对数求导法的原理就是

（1）换底，即；

（2）复合函数求导法则，即。

适用性
函数是乘积形式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。

求导举例
（1）设，求。

解取对数得，求导得，所以。

（2）设，求。

解取对数得，

求导得，

所以。

（3）设函数由方程所确定，且已知，求。

解方程两边对求导，得，，，求得

将代入得。

注这里由于整体上是个减法，所以先取对数没有用。如果写为，那是错的，对数没有这样的运算性质。

应用举例
求函数在区间上的最小值，函数在区间上的最大值[2]。

解和在区间上连续且可导，

（1）取对数得，求导得，所以，

x (0,1/e) 1/e (1/e,+∞)
f'(x) 负 0 正
f(x) 单调减少 最小值 单调增加
函数在区间上的最小值为

（2）取对数得，求导得，所以，

x (0,e) e (e,+∞)
g'(x) 正 0 负
g(x) 单调增加 最大值 单调减少
函数在区间上的最大值为。

Answer 2

对数求导法是一种求函数导数的方法。 取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。 对数求导法应用相当广泛。是对 y(x) =u(x)^v(x) 这种样子的函数

对数求导法本质上就是链式法则，例如 y = x^x，取对数就是 log y =xlog x，再两边对 x 同时求导

右边想必题主是会算的，左边 y 是 x的函数，相当于 log y(x)，对 x 求导用链式法则就是 y'/y（这里省略了自变量 x），故

y'/y = (xlog x)'

然后你就可以把 y' 算出来

y' =y(xlogx)' =x^x(xlogx)'

由于 log y 求导完是 y'/y，故通过对数求导法你总是可以在最后把 y 乘过去，进而写出 y'; 而关键的问题在于，是否取了对数会让你的计算更简单

Answer 3

通常是对 y(x) =u(x)^v(x) 这种样子的函数

对数求导法本质上就是链式法则，例如 y = x^x，取对数就是 log y =xlog x，再两边对 x 同时求导

右边想必题主是会算的，左边 y 是 x的函数，相当于 log y(x)，对 x 求导用链式法则就是 y'/y（这里省略了自变量 x），故

y'/y = (xlog x)'

然后你就可以把 y' 算出来

y' =y(xlogx)' =x^x(xlogx)'

由于 log y 求导完是 y'/y，故通过对数求导法你总是可以在最后把 y 乘过去，进而写出 y'; 而关键的问题在于，是否取了对数会让你的计算更简单

Answer 4

：熟记基本求导公式表（我可是帮你们总结了考研过程中最全面的）

下面我们来做一道既考察导数定义又考察求导公式的经典例题

同学们，思考片刻再看答案哦
看过小哥哥昨天内容的同学一定会发现这是一个求一点的导数问题，那肯定用定义法啊。能想到这一步就提出表扬了。但是当你真正用定义法去解题的时候是不是被第一部分就恶心到了。这里小姐姐要告诉大家一个解题技巧。每当你看到一大堆带着根号乘除的式子，一定要记住取对数试一试，你会发现这个世界还是很美好的。

然后我们对u取对数

是不是眼前一亮，这时我们再求导就很方便了

我们把x=1代入得到

我们再来看v的部分，直接用求导公式吧，不是不可以，就是太麻烦，具体有多麻烦呢，你自己试试看。当x=1的时候我们会发