简单线性回归模型以其直观性和实用性,为我们理解复杂统计分析奠定了基础。其基本形式可以表示为:
看似简单,实则蕴含着丰富的理论内涵。核心问题在于,给定一个样本[公式],如何估计参数[公式]?这就需要零条件均值假设([公式]),即[公式],这是对因变量和误差独立性的基本假定。
通过这个假设,我们可以得到一阶条件的两个方程:[公式]。这两个方程恰好对应两个未知数,我们便可通过矩法进行求解。然而,样本方差不为零的条件在实践中常常难以满足,这就是普通最小二乘法(OLS)的适用前提。
OLS的精髓在于最小化残差平方和,即[公式]。证明这一点只需要利用OLS的代数特性。接下来,我们探讨OLS估计量的性质。为了无偏性,我们需要满足四个假设:线性关系、随机样本、观测值不重复和零条件均值。一旦这些条件成立,我们可以通过一系列推导证明斜率和截距的无偏性。
至于估计量的方差,引入同方差假设[公式]后,回归标准差[公式]的计算涉及到样本方差的无偏估计,通过构造矩的形式得出。最终,我们可以通过[公式]来计算参数的标准误,这就是回归分析中的重要概念。
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