三维有限差分频域(FDFD)

Question

如题所述

Answer 1

揭秘三维有限差分频域(FDFD)的奥秘

在三维空间中，FDFD（三维有限差分频域方法）的实施离不开关键组件——坐标拉伸完美匹配层(SCPML)。当SCPML条件施加于麦克斯韦旋度方程组上，我们得到的是经过归一化处理后的离散化方程。让我们深入解析这个过程：

首先，原始方程在离散化时，如上图所示，可能遇到问题，因为物理量的近似值 ΔE_x、ΔE_y 和 ΔE_z 不在同一个位置。为了解决这个不匹配，我们需要进行插值，确保它们在物理意义下的位置一致。具体来说，我们采用四个邻近点的平均值来近似，表达式如下：

这就是一个插值过程，它使得六个原始方程能够转化为矩阵形式，插值矩阵 M 通过轴向的加权平均来定义，如:

M₊ 表示正向相邻网格的平均，负向则为 M_-。

对于边界条件，狄利克雷边界可通过求导矩阵轻松计算插值矩阵，而周期性边界则需要专门设计，但两者都与矩阵 M 有着密切的数学联系。

接下来，这些矩阵共同作用，使得原本的麦克斯韦旋度方程组被精简为以下形式：

M_E 和 M_H 分别对应电场和磁场的波动方程。
电导率和磁导率则由相应的本构参数矩阵 σ 和 μ 描述。

当引入激励源时，我们需要考虑电场的三个分量，如电场激励源 E_src，因为它们在Yee网格中的位置差异会影响它们的相位和矩阵表达。

此时，我们利用TF/SF方法计算散射场时，会分别处理每个分量，得到各自的 M_TF 和 M_SF 矩阵，并通过特定操作整合为总的矩阵。然后，通过QAAQ方程计算出激励源矢量。

然而，在三维情况下，直接求解矩阵方程通常不是最佳策略，由于矩阵的特性，迭代方法如matlab内置的qmr()（基于拟最小残差法）和bicg()（双共轭梯度法）成为更好的选择。qmr()虽然速度较慢但稳定性高，而bicg()则提供了更快的求解速度，但可能在某些情况下鲁棒性稍逊一筹。

通过以上详细的解析，我们可以看到三维FDFD的复杂性和精确性，它不仅涉及矩阵操作，还依赖于特定的边界条件和迭代算法。这正是FDFD在三维电磁模拟中发挥核心作用的关键所在。