先比较正方形和圆形:设周长为C,正方形边长为a,圆半径为r
①根据正方形周长公式C=4a,则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长²,则正方形面积S1=(C/4)²=C²/16=0.0625C²
②根据圆周长公式C=2πr,则圆半径r=C/2π
根据圆面积公式S2=πr²,则圆面积为S2=π×(C/2π)²=C²/4π≈0.08C²
因为0.08C²>0.0625C²
所以S2>S1
即周长相等的圆和正方形,圆的面积大于正方形的面积。
(2)再比较正方形和长方形:设周长为C,正方形边长为a,长方形长为b、宽为c。
①根据正方形周长公式C=4a,则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长²,则正方形面积S1=(C/4)²=C²/16
②根据长方形周长公式C=(b+c)×2,则b+c=C/2
根据长方形面积公式得S3=bc
因为a=C/4,所以a=C/2×1/2=(b+c)×1/2=(b+c)/2
则S1-S3
=a²-bc
=(b+c)²/4-bc
=(b+c)²/4-4bc/4
=【(b+c)²-4bc】/4
=(b²+2bc+c²-4bc)/4
=(b²-2bc+c²)/4
=(b-c)²/4
因为b≠c,所以(b-c)²>0
则(b-c)²/4>0
即S1-S3>0
所以S1>S3
所以周长相等的长方形和正方形,正方形的面积大于长方形的面积
(3)根据以上计算可得,S2>S1>S3,所以在周长相等的情况下,面积最大的图形为圆形。
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