周长相等，哪个图形的面积大？

Question

如题所述

Answer 1

先比较正方形和圆形：设周长为C，正方形边长为a，圆半径为r
①根据正方形周长公式C=4a，则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长²，则正方形面积S1=（C/4）²=C²/16=0.0625C²
②根据圆周长公式C=2πr，则圆半径r=C/2π
根据圆面积公式S2=πr²，则圆面积为S2=π×（C/2π）²=C²/4π≈0.08C²
因为0.08C²＞0.0625C²
所以S2＞S1
即周长相等的圆和正方形，圆的面积大于正方形的面积。
（2）再比较正方形和长方形：设周长为C，正方形边长为a，长方形长为b、宽为c。
①根据正方形周长公式C=4a，则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长²，则正方形面积S1=（C/4）²=C²/16
②根据长方形周长公式C=（b+c）×2，则b+c=C/2
根据长方形面积公式得S3=bc
因为a=C/4，所以a=C/2×1/2=（b+c）×1/2=（b+c）/2
则S1-S3
=a²-bc
=（b+c）²/4-bc
=（b+c）²/4-4bc/4
=【（b+c）²-4bc】/4
=（b²+2bc+c²-4bc）/4
=（b²-2bc+c²）/4
=（b-c）²/4
因为b≠c，所以（b-c）²＞0
则（b-c）²/4＞0
即S1-S3＞0
所以S1＞S3
所以周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大于长方形的面积
（3）根据以上计算可得，S2＞S1＞S3，所以在周长相等的情况下，面积最大的图形为圆形。