刚体：在任何情况下，形状大小都不发生变化的力学研究对象。
特点：里面任何两个质点间的距离不因力的作用而发生改变。
三维空间中，任意不共线的三个质点即可确定刚体的位置。
一般而言，我们会引入两个参考系：绝对静止的惯性系[公式] 和随刚体转动的随动坐标系 [公式] 。
进一步对运动进行分类：平动；定轴转动；平面平行运动；定点转动；一般运动。
刚体平动
刚体平动：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。
特点：平动中，刚体上任一点的轨道、位移、速度和加速度完全相同。
此时只需要确定刚体质心位置就能把刚体彻底确定。
刚体定轴转动
定轴转动：在运动中，至少有两个质点保持不动，刚体上各点绕过此两质点的轴做圆周运动。
特点：每个点都做圆周运动。
此时只需要确定刚体的转动角即可确定整个刚体。
平面平行运动
平面运动：在运动中，刚中的任意一点始终在平行于某固定平面的平面内运动。
特点：每个点的运动可分解为随质心的平动和绕过质心轴的定轴转动。
此时坐标为[公式] 。
刚体定点运动（最难）
定点转动：在运动中，刚体中的有一点始终保持不动。
特点：随动系绕固定坐标轴转动，随动系中为定轴转动
广义坐标为三个欧拉角。
刚体的角速度
我们已经知道在随动系[公式] 中： [公式] 。
因此惯性系和随动系之间满足：[公式] ，其中 [公式] 是随动系对时间的导数。
其中随体系的[公式] 轴位瞬时转动轴。我们在定点转动的框架下描述刚体运动的方法如下：
第一步：先确定刚体上过[公式] 点的 [公式] 轴方位；
第二步：再确定刚体绕[公式] 轴旋转的角度。
其中第一步我们使用两个角度来确定[公式] 轴的方位（类似于球坐标，但是我们不需要知道 [公式] 轴的“长度”）
按照如下顺序作用三维旋转矩阵：[公式] 平面绕 [公式] 轴旋转 [公式] ，再使 [公式] 平面绕 [公式] 旋转 [公式] ，最后令 [公式] 平面绕 [公式] 轴旋转 [公式] 。
最终得到（不用记忆）
三个角度的范围如下
总角速度即[公式] 。
需要记忆的如下：
1）三个旋转轴的矢量分解式：
2）总角速度在随体参考系中的分解：
[公式]
在绝对参考系中的分解：
[公式]
刚体的线速度固定基点法
核心：刚体的角速度与基点选取无关。
瞬时转轴法
任一瞬时都可以看成刚体绕某一转轴旋转。确定这一旋转轴的方法就是找到两个已知的速度，作垂线，二者垂线交点即转轴所在点（瞬心）。
瞬心Q在固定坐标Oxy中的轨迹称为空间极迹。
瞬心Q在随动坐标系Cx′y′ 中的轨迹称为本体极迹。
滚动摩擦
除了摩擦力之外，我们引入摩擦力矩的概念：[公式] ，引入滚动摩擦因数 [公式] 度量摩擦力矩的强度。
例题：半径为[公式] 质量为 [公式] 的均质乒乓球以初速度 [公式] 向右沿水平地面被抛出，同时乒乓球具有逆时针方向的初始角速度 [公式] ，讨论乒乓球的运动情况。
本题十分重要，不仅涉及了有滑摩擦，还涉及了含耗散力的欧拉-拉格朗日方程。
约束为在平面上又滑又滚，自由度为2，选取广义坐标[公式] 。
写出欧拉-拉格朗日方程：[公式] 。
由于[公式] ，因此 [公式] ，于是
写出动能函数[公式] ，代入方程可得：
[公式]
解得：[公式] 。
容易解出：[公式] 。
1）[公式] ，最平凡的情况，乒乓球同时停止转动和平动；
2）[公式] ，乒乓球先停止转动，但是依旧有平动，此时滑动摩擦力是乒乓球开始顺时针转动：
[公式] 起先，乒乓球顺时针转动后的一段时间内是又滚又滑的，直到 [公式] 即 [公式] 时，转动导致的平动速度和原本的平动速度相持，此时平动速度为 [公式] 。
3）[公式] ，乒乓球先停止平动，随后反向平动。此时乒乓球运动方程为：
[公式]
可以证明[公式] 时，乒乓球以 [公式] 向左纯滚动。
综上
刚体运动的动力学方程
一般运动=随基点的平动+绕基点的定点转动：
[公式] 注意上式右侧第三项为零（角速度垂直于该平面）。
单独将动能中的转动项拿出来：
[公式]
其中[公式] 。
注意到[公式] ，代入得到
[公式]
类似可以推出：
如下定义惯量张量的分量：
角动量和角速度间线性变换关系满足：
惯量张量和惯量椭球
适当选择坐标系可使所有惯量积为零,即：惯量张量对角化,这样的坐标称为刚体的主轴或惯量主轴（主轴坐标系）
惯量主轴
①均匀刚体的对称轴必为惯量主轴；②垂直于均匀刚体的对称面的轴为惯量主轴；③在中心惯量主轴延线上取平行坐标系，新的坐标系仍是惯量主轴。其中，中心惯量主轴是以质点为坐标原点的惯量主轴。
例题：已知刚体绕[公式] 点转动的转动惯量张量为 [公式] ，求刚体绕过 [公式] 点的定轴 [公式] 的转动惯量 [公式] 。
以[公式] 为原点，建立随动系 [公式] 。
注意到[公式] ，因此 [公式] 。
[公式] 取 [公式] 于是
[公式] 此即椭球方程（惯量椭球），于是线性代数中二次型的知识就可以用上了！
惯量椭球的几何意义：从坐标原点[公式] 沿任意方向作一轴线 [公式] 它和椭球表面的交点为 [公式] ，则 [公式] 即为此刚体绕 [公式] 方向的轴作定轴转动时的转动惯量 [公式] 的平方根的倒数。
一定要注意，只有随动参考系中惯量张量才是不变量，在绝对参考系中惯量张量是一个随时间变化的量。
欧拉动力学方程
回忆[公式] ，由于在绝对惯性系中惯量张量随时间变化，会导致问题更复杂，因此我们选择随动参考系进行研究，其中满足： [公式] 。
[公式] 完全展开后得到：
如果我们恰当选取惯量主轴，则惯量积部分归零，方程组化为
潘索几何图像
刚体质心为坐标原点[公式] ，过 [公式] 点的惯量主轴系即 [公式] 系中满足惯量椭球方程 [公式] 。
取[公式] （常矢量，方向为 [公式] 方向）， [公式] 在 [公式] 上的投影记为 [公式]
[公式]
投影为常数，因此我们说刚体绕[公式] 轴匀速转动。
设[公式] 与惯量椭球的交点为 [公式] ， [公式]
注意到[公式] ，于是
[公式]
由于椭球[公式] 在点 [公式] 处的切平面为 [公式] .
因此切平面法线方向余弦为[公式] ， [公式] 点到切平面的距离为一常数 [公式] 。
自由转动图像拉格朗日陀螺
拉格朗日陀螺：刚体绕定点[公式] 转动时，惯量椭球是一个旋转椭球， [公式] ，重心 [公式] 在对称轴 [公式] 上。
[公式]
因此拉格朗日量为：[公式]
其中[公式] 为循环坐标，对应的守恒动量如下：
[公式]
对应了[公式] 守恒，且陀螺角动量 [公式] 在进动方向 [公式] 的分量守恒。
拉格朗日量不含时，于是能量守恒：
[公式]
有效势能为[公式]
角速度满足[公式] ，其中 [公式] 为有效势能取极小值时的章动角。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考