求椭圆的离心率的取值范围

Question

椭圆的左右焦点为F1、F2，半焦距为2c，椭圆上存在一点P使的a：sinPF1F2=c：sinPF2F1，求椭圆的离心率的取值范围

Answer 1

解：由于：a/sinPF1F2=c/sinPF2F1
则：c/a=sinPF2F1/sinPF1F2
则由正弦定理得：sinPF2F1/sinPF1F2=|PF2|/|PF1|
所以，e=c/a=|PF2|/|PF1|
又：|PF1|+|PF2|=2a
所以：(e+1)|PF1|=2a
即：|PF1|=2a/(e+1)
则：|PF2|=e|PF1|=2ae/(e+1)
又：||PF1|-|PF2||≤|F1F2|=2c
所以：2a(1-e)/(e+1)≤2c
即：(1-e)/(1+e)≤e
e^2+2e-1≥0联立：0<e<1
得：√2-1<=e<1
故：椭圆离心率的范围是:[√2-1,1)

Answer 2