一般形如
（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则无实数根），被开方数必须大于或等于0。
平方根
定义和概念
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，即如果
=a，则x叫做a的平方根，记作x=
，其中a叫被开方数。
性质
1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是x，则a的另一个平方根为﹣x。
2.零的平方根是零，即
；
3.负数没有平方根。
4.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。
5.若a,b,c,d都是有理数,为无理数，且，则a=b,c=d。
√a的性质和几何意义
1）a≥0 ;
≥0 [ 双重非负性 ]
2）
=a
（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
3) c=
表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论
算术平方根
正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用
(a≥0)来表示。[1]
开平方运算
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。[2]
运算法则
乘除法
1.积的算数平方根的性质
（a≥0，b≥0）
2. 乘法法则
（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则
（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
加减法
1、同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2、合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例如：（1）
；（2）
4、注意：有括号时，要先去括号。
化简
化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
分母有理化
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：
（1）直接利用二次根式的运算法则：
例：
（2）利用平方差公式：
例：
[3]
（3）利用因式分解：
例：
（此题可运用待定系数法便于分子的分解）
换元法
换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。
例：在根式
中，令
，即可得到
原式=
典型例题
1、化简根式：
分析：利用因式分解将大根号下的数化为一个完全平方式，即可去掉大根号。
2、计算
分析：通关换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。
混合运算
1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
应用
二次根式的应用主要体现在两个方面：
（1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。[4]
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