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关于正四面体,比如两个面的夹角,,,以及为什么 中心到顶点都是109,28.越多越好,,
顺便问个问题,,我 左看右看,正四面体两面之间的角是60度啊,,为什么 结果是 80多读,,,不懂
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推荐答案 2007-01-11
近年来,无论是高考,还是全国竞赛,涉及空间结构的试题日趋增多,成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始,与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。
在小学里,我们就已经系统地学习了正方体,正方体(立方体或正六面体)有六个完全相同的正方形面,八个顶点和十二条棱,每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的,它有四个完全相同的正三角形面,四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢?请先让我们看下面一个例题吧:
【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的,请计算分子中碳氢键的键角(用反三角函数表示)
【分析】在化学中不少分子是正四面体型的,如CH4、CCl4、NH4+、 SO42-……它们的键角都是109º28’,那么这个值是否能计算出来呢?
如果从数学的角度来看,这是一个并不太难的立体几何题,首先我们把它抽象成一个立体几何图形(如图1-1所示),取CD中点E,截取面ABE(如图1-2所示),过A、B做AF⊥BE,BG⊥AE,AF交BG于O,那么 ∠AOB就是所求的键角。我们只要找出AO(=BO)与AB的关系,再用余弦定理,就能圆满地解决例题1。当然找出AO和AB的关系还是有一定难度的。先把该题放下,来看一题初中化学竞赛题:
【例题2】CH4分子在空间呈四面体形状,1个C原子与4个H原子各共用一对电子对形成4条共价键,如图1-3所示为一个正方体,已画出1个C原子(在正方体中心)、1个H原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表示),请画出另3个H原子的合适位置和3条共价键,任意两条共价键夹角的余弦值为 ①
【分析】由于碳原子在正方体中心,一个氢原子在顶点,因为碳氢键是等长的,那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上,正方体余下的七个顶点可分成三类,三个为棱的对侧,三个为面对角线的对侧,一个为体对角线的对侧。显然三个在面对角线对侧上的顶点为另三个氢原子的位置。
【解答】答案如图1-4所示。
【小结】从例题2中我们发现:在正四面体中八个顶点中不相邻的四个顶点(不共棱)可构成一个正四面体,正四面体的棱长即为正方体的棱长的倍,它们的中心是互相重合的。
【分析】回到例题1,将正四面体ABCD放入正方体中考虑,设正方体的边长为1,则AB为面对角线长,即,AO为体对角线长的一半,即/2,由余弦定理得cosα=(AO2+BO2-AB2)/2AO·BO=-1/3
【解答】甲烷的键角应为 π-arccos1/3
【练习1】已知正四面体的棱长为,计算它的体积。
【讨论】利用我们上面讲的思想方法,构造一个正方体,那么正四面体就相当于正方体削去四个正三棱锥(侧面为等腰直角三角形),V正四面体=a3-4×(1/6)×a3。
若四面体相对棱的棱长分别相等,为a、b、c,求其体积。
我们也只需构造一个长方体,问题就迎刃而解了。
【练习2】平面直角坐标系上有三个点(a1,b1)、(a2,b2)、(a3,b3)求这三个点围成的三角形的面积。
【讨论】通过上面的构造思想,你能构造何种图形来解决呢?是矩形吧!怎样表达面积呢?你认为下面的表达式是否写得有道理?
S△=(max{a1,a2,a3}-min{a1,a2,a3})×(max{b1,b2,b3}-min{b1,b2,b3})-(++)
【练习3】在正四面体中体心到顶点的距离是到底面距离的几倍,能否用物理知识去理解与解释这一问题呢?
【讨论】利用物理中力的正交分解来解决这一问题,在平面正三角形中,从中心向顶点构造三个大小相等,夹角为120º的力F1、F2、F3。设F1在x轴正向,F2、F3进行正交分解在x、y轴上,在x轴上的每一个分力与F1相比就相当于中心到底面与到顶点距离之比,而两个分力之和正好与F1抵消,即大小相等。显然中心到顶点距离应为到底边距离的2倍。
●
● Si ○ C
图1-5
在空间,构造四个力Fi(i=1,2,3,4),F1在x轴正向(作用点与坐标原点重合),F2、F3、F4分解在与x轴与yz面上,yz面上三个力正好构成正三角形,而在x轴(负向)上有三个分力,其之和与F1抵消,想想本题答案应为3吗?当然这个问题用体积知识也是易解决的。
让我们再回到正题,从上面的例题1,2中,我们了解了正四面体与正方体的关系,虽然这是一个很浅显易懂的结论,但我们还是应该深刻理解和灵活应用,帮助我们解决一些复杂的问题。先请再来看一个例题吧:
【例题3】SiC是原子晶体,其结构类似金刚石,为C、Si两原子依次相间排列的正四面体型空间网状结构。如图1-5所示为两个中心重合,各面分别平行的大小两个正方体,其中心为一Si原子,试在小正方体的顶点上画出与该Si最近的C的位置,在大正方体的棱上画出与该Si最近的Si的位置。两大小正方体的边长之比为_______;Si—C—Si的键角为______(用反三角函数表示);若Si—C键长为a cm,则大正方体边长为_______cm;SiC晶体的密度为________g/cm3。(NA为阿佛加德罗常数,相对原子质量 C.12 Si.28)②
【分析】正方体中心已给出了一个Si原子,那么与Si相邻的四个C原子则在小正方体不相邻的四个顶点上,那么在大正方体上应画几个Si原子呢?我们知道每个碳原子也应连四个硅原子,而其中一个必为中心的硅原子,另外还剩下4×3=12个硅原子,这12个点应落在大正方体上。那么这12个又在大正方体的何处呢?
前文介绍正方体时曾说正方体有12条棱,是否每一条棱上各有一个碳原子?利用对称性原则,这12个硅原子就应落在各棱的中点。让我们来验证一下假设吧。
过大正方体的各棱中心作截面,将大正方体分割成八个小正方体,各棱中点、各面心、顶点、中心构成分割后正方体的顶点。原来中心的硅原子就在分割后八个正方体的顶点上了,由于与一个碳原子相邻的四个硅原子是构成一个正四面体的。利用例2的结论,分割后的正方体上另三个硅原子的位置恰为原来大正方体的棱心(好好想一想)。那么碳原子又在分割后的正方体的哪里呢,毫无疑问,在中心。那么是否每个分割后的正方体的中心都有碳原子呢?这是不可能的,因为只有四个碳原子,它们应该占据在不相邻的四个正方体的中心。碳原子占据四个硅原子构成的最小正四面体空隙的几率为1/2,那么反过来碳原子占据碳原子四面体空隙的几率又是多少呢?也1/2吧,因为在空间,碳硅两原子是完全等价的,全部互换它们的位置,晶体是无变化的。
我们可以把大正方体看成SiC晶体的一个基本重复单位,那么小正方体(或分割后的小正方体)能否看成一个基本重复单位呢?这是不行的,因为有的小正方体中心是有原子的,而有些是没有的。
大小两个正方体的边长应是2:1吧,至于键角也就不必再说了。最后还有一个密度问题,我们将留在第二节中去分析讨论。
【解答】如图1-6所示(碳原子在小正方体不相邻的四个顶点上,硅原子在大正方体的十二条棱的中点上) 2:1 arcos (-1/3) 4/3 15/2NAa3
【练习4】金刚石晶体是正四面体型的空间网状结构,课本上的金刚石结构图我们很难理解各原子的空间关系,请用我们刚学的知识将金刚石结构模型化。
【练习5】在例题3中,如果在正方体中心不画出Si原子,而在小正方体和大正方体上依旧是分别画上C原子和Si原子,应该怎么画呢?
【讨论】还是根据例题3 的分析,在例题3中,将大正方体分割成小正方体后,我们所取的四个点在大正方体上是棱心和体心,那么我们是否可以取另外四个点呢?它们在大正方体中又在何位置呢?与原来的位置(棱心+体心)有什么关系呢?
【练习参考答案】
1.;
2.该表达式是正确的;
3.3倍
4.只需将例题3中将Si原子变成C原子,就是我们所需的金刚石结构模型,大正方体就是金刚石的晶胞(下文再详述)。
5.可以取另外四个点,C原子的位置无变化,Si原子在大正方体的面心和顶点上(这不就是山锌矿的晶胞吗?下文再详述);与原来的位置正好相差了半个单位,即只需将原来的大正方体用一水平面分成两等份,将下面部分平移到上面一部分的上面接上即可。
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其他回答
第1个回答 2007-01-11
先回答夹角的问题:首先,两个面之间夹角的定义要先弄清楚。。。不是你看到的边缘的角度,是垂直于两面交线并分别在两个面内的直线的夹角。对于正4面体来说,就是两个相邻正三角形的高的夹角(这个没图不好描述。。。自己体会一下)。可以这样做:取一边的中点,连接相应的三角形顶点和这个中点,这两条线段就是高,它们之间的角度才是两个面的夹角,可以用余弦定理求得arccos1/3。
第二个问题:109,28是一个角度,正四面体的中心和顶点的连线之间的夹角,这个纯粹是线段之间的夹角,和面的那个没有关系,它的数值用余弦定理求得arccos(-1/3)本回答被提问者采纳
第2个回答 2007-01-11
设正四面体的棱长为了,则每个面上高为2分之根号3,从正四体的顶点向底面引垂线,正好在底面的中心上,中心到底面上任意一边的距离为高的1/3,即6分之根号3,根据cosα=(6分之根号3)/2分之根号3,得cosα=1/3,查反余弦表可以得出α的度数.QQ317523444
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正4
面体
的特征是
什么
?
越多
越详细
越好
答:
正四面体
可与正八面体填满空间,在一点周围有八个正四面体和六个正八面体.
顶点
数:4 (相同) 棱数:6 (等长) 面:4 (全等正三角形)棱长为1时,高:6^0.5/3
,中心
把高分为1:3两部分.两条高
夹角
为2*asin(6^0.5/3)=2*acos(3^0.5/3)=2*atan(2^0.5)=2*acot(2^0.5/2)≈1.91063...
甲烷既然是
正四面体
结构
,为何
键角
109
°
28
′不是60°呢
答:
甲烷CH4,
正四面体四个顶点是H元素,正四面体中心是C元素
,H-H间的夹角的确是60度,但是键角指的是C-H间的夹角,是109度28分。
P4和CH4分子的键角差异:
为何
P4为60度而CH4为
109
o
28
ˊ?
答:
在分子世界中,P4和CH4都展现出了独特的
正四面体
结构,然而它们的内部细节却大相径庭。首先,让我们来看看P4,每个
顶点都
驻留一个P原子,形成四个等边三角形的接合,每个角
的夹角
恰好是60度,如同一块完美的几何拼图。相比之下,CH4则展现出不同的风貌。在这个正四面体中,四个顶点各占据一个H原子,而...
求
正四面体的
性质
答:
解:
正四面体
的性质如下:
顶点
到底面距离=√6a/3(a为棱长)棱与
面的夹角
= 面与
面夹角
=2ArcSin(√3/3)异面直线的夹角=90度 体积= 表面积= (a为棱长)
立体几何
答:
从空间一个点P引四条射线PA、PB、PC、PD,它们两两之间
的夹角
相等 这句话使我们想到了
正四面体
。ABCD
,中心是
P。这样,PA、PB、PC、PD
,两两
之间夹角相等。通过几何证明,夹角是arccos(-1/3)[
109
°28′]
正四面体
性质
答:
有这样的性质 。这个点是垂足,也就是对面等边三角形的中心。很好证明:∵
正四面体
中,分别过三条棱与高的截面是全等三角形,∴ 垂足到三
个顶点
的距离相等,∴ 垂足为等边三角形
的中心
。祝你进步!
正四面体
相关数据
答:
当棱长为a的
正四面体
中,一些关键数据如下:1. 高度:高为√6a/3
,中心
点将这个高分为1:3的两部分。2. 表面积:表面积计算为√3a^2,表示四面体各面的总面积。3. 体积:体积为√2a^3/12,这是一个立体空间的量度。4. 对棱中点连线长度:连接对棱中点的线段长度为√2a/2。5. 外接球:正...
正四面体分子的键角是一定的吗甲烷
的是109
度
28
分其他
正四面体的
物质呢...
答:
这样的分子键角是由
中心
原子和外围的两个原子的连线夹成的,键角
是109
゜28',类似的还有NH4+、CCl4等。另一种是像P4(白磷)这样的结构。一个白磷分子有四个磷原子构成,每个磷原子在
正四面体
的一个
顶点,
由于没有中心原子,所以键角就是三个磷原子
的夹角,
60゜。
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