一个非齐次线性方程组有3个线性无关的解

Question

一个非齐次线性方程组有3个线性无关的解题目是X1+X2+X3+X4=-1，4X1+3X2+5X3-X4=-1，AX1+X2+3X3-BX4=1.有3个线性无关的解。问题1证明方程组系数矩阵A的秩为2

网上也有解答
α1-α2，α1-α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关．
所以　n-r（A）≥2，即4-r（A）≥2⇒r（A）≤2．

但是有一点没懂
α1-α2，α1-α3，α2-α3，也是Ax=0的线性无关的解，为什么不能是n-r（A）≥3？？

是我哪里弄错了？？求大佬

Answer 1

由非齐次线性方程组有三个线性无关解，可以得到齐次线性方程组的两个线性无关解。

如果题目没有说非齐次线性方程组只有三个线性无关解，此时只能得到齐次方程组有不少于两个线性无关的解。

即n-rank(A)>=2.

扩展资料：

非齐次线性方程组

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩。

参考资料来源：非齐次线性方程组_百度百科

Answer 2

1、一个非齐次线性方程组有三个线性独立解，这意味着该系统的一般解中有三个参数。由于系统一般解的每一个特殊解都是线性独立的，用含有三个参数的一般解的任意两个参数替换为0，就可以得到三个线性独立解。

2、证明了方程组系数矩阵的秩等于2。

定理：当线性矩阵有无穷多解时，一般解中的参数个数等于n-r（a），其中n是线性方程组的未知变量个数，r（a）是矩阵系数矩阵的秩。

证明方法简单易行：如果未知数为5，参数为3，则系数矩阵的秩为5-3=2。

3、非齐次线性方程组有四种解：无解、只有零解、非零解和无穷多解。

扩展资料：

非齐次线性方程组解的存在性：

1、非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

2、非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

3、非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

参考资料：百度百科-非齐次线性方程组

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Answer 3

这是因为向量组α1-α2，α1-α3，α2-α3的秩是2，是线性相关的，不能得出n-r（A）≥3
只有在线性无关时，才能得出你的结论追问

哦哦 蟹蟹 我用定义可以判断出这三个向量线性相关 怎么判断它的秩呢

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Answer 4

α2-α3可以由α1-α2，α1-α3，表示出来，α2-α3=(α1-α3)-(α1-α2)，所以线性无关的只有α1-α2，α1-α3