A乘以A的转置 有公式么？

Question

如题所述

Answer 1

结论直接告诉我们，当A是一个实矩阵时，它的转置矩阵AA^T的秩等于A的秩，即r(AA^T) = r(A^TA) = r(A)。对于非零列向量A，AA^T的秩为1，特征值包括A^TA的值以及多个0。

转置矩阵的定义是通过交换矩阵的行和列来得到，重要的一点是，矩阵转置后其行列式保持不变。另外，两个矩阵M和N如果满足乘积等于单位矩阵I，即M*N=I，那么它们互为逆矩阵。这意味着，通过M和其逆矩阵N对齐次坐标A进行操作，可以实现坐标空间的还原，就像从仿射空间B通过逆矩阵N返回到原始的仿射空间A。

具体来说，如果M将仿射空间A映射到B，那么N能够将B恢复到A的状态，这是逆矩阵在几何变换中的关键作用。通过这种方式，我们能够理解矩阵乘法在几何变换和逆变换中的应用。