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矩阵秩性质问题
若 矩阵A是m×s矩阵,B是s×n矩阵,若AB=0,则R(A)+R(B)<=s,为什么?谢谢
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推荐答案 2014-03-23
矩阵AB是0矩阵——》矩阵B的任一列向量x都是方程Ax=0的解,
1.如果A列满秩,即R(A)=s,由方程解的性质——》方程只有0解——》x的所有元素都为0——》R(B)=0——》R(A)+R(B)=s。
2.如果A非列满秩,即R(A)=a<s,则Ax=0的解空间的秩为s-a。由于B是由Ax=0的解向量组成的,相当于从解空间中任意抽出n个列向量。所以R(B)<=s-a.即R(A)+R(B)<=s。
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第1个回答 2014-03-23
设R(A)=r,R(B)=t,由AB=O可知B的列向量组都是齐次线性方程组AX=O的解向量,而B的列向量组又只是齐次线性方程组AX=O的所有解向量的一部分向量。所以B的列向量组的秩<=s齐次线性方程组AX=O的所有解向量构成的向量组的秩,而齐次线性方程组AX=O的所有解向量组的秩=等于其基础解系所含向量的个数s-r,故R(B)<=s-r.即R(B)<=s-R(A),所以有R(A)+R(B)<=s。
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矩阵秩
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性质
大全及证明
答:
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性质
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