1+2^2+3^2+...+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)。
解题过程如下：
解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1
则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1
............
3^3-2^3=3*2^3+3*2+1
2^3-1^3=3*1^3+3*1+1
把等式两边同时求和得，
（n+1）^3-1^3
=（3n^2+3（n-1）^2+......+3*2^2+3*1^2）+（3n+3（n-1）+......+3*2+3*1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3（n+（n-1）+......+2+1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
即，n^3+3n^2+3n=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
整理得，n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6
即，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料
等比数列性质
（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
（3）若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。
（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
（6）等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
1+2^2+3^2+...+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)。
解题过程如下：
解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1
则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1
............
3^3-2^3=3*2^3+3*2+1
2^3-1^3=3*1^3+3*1+1
把等式两边同时求和得，
（n+1）^3-1^3
=（3n^2+3（n-1）^2+......+3*2^2+3*1^2）+（3n+3（n-1）+......+3*2+3*1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3（n+（n-1）+......+2+1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
即，n^3+3n^2+3n=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
整理得，n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6
即，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
相关公式：
（1）1×2×3+2×3×4+3×4×5+......+n(n+1)(n+2)
=1/4【1×2×3×4-0×1×2×3】+1/4【2×3×4×5-1×2×3×4】+1/4【3×4×5×6-2×3×4×5】+......+
1/4【n(n+1)(n+2)（n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)】
=1/4×n(n+1)(n+2)(n+3)
（2）1+2+3+.+n=n(n+1)/2
（3）1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
（4）1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)
＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+.+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)
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追答这就是公式，用归纳法可以证明
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