怎么求导函数的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

令u = tan(x/2)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)，dx = 2du/(1 + u²)

∫ 1/(2 + cosx) * dx

= ∫ 1/[2 + (1 - u²)/(1 + u²)] * 2du/(1 + u²)

= ∫ (1 + u²)/(2 + 2u² + 1 - u²) * 2du/(1 + u²)

= 2∫ du/(u² + 3)，用公式：∫ dx/(x² + a²) = (1/a)arctan(x/a) + C，可得

= (2/√3)arctan(u/√3) + C

= (2/√3)arctan[(1/√3)tan(x/2)] + C

求解

我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。