交错调和级数为什么收敛到一个具体值怎么算出来的

Question

如题所述

Answer 1

我直接说一下最佳答案下面的评论的问题。最佳答案是没有问题的。下面是最佳答案的图片，借用一下。

评论说“x=1处发散的”都没弄懂  函数项级数的收敛域（尤其是端点处），收敛区间， 和函数的定义域，这几者的区别。

1.首先，函数项级数的 收敛区间是（-1,1）不错，但是x取1时，是交错调和级数，是收敛的，x=-1时，退化成调和级数，发散，所以 收敛域 要添加1这个端点，收敛域是(-1,1]。

2.也就是说，当我们反观 和函数 时，ln（x+1）在(-1,1]都是代表着 函数项级数的极限值的。

3.ps：判断“x=1处发散的”可能都是用了比值判别法，或者根值判别法，但是比值和根值判别法，在极限等于1时都是失效的，x=1，函数项级数 变成 交错调和级数，由莱布尼茨判别法知，此时收敛（提问者本来就在问收敛到一个具体值怎么算的）。

Answer 2

1、下面提供两种具体方法：

A、求导、定积分并用的方法，

      同时运用公比小于 1 的无穷等比级数求和方法；

B、运用麦克劳林级数展开方法。

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2、具体解答过程如下，每张图片均可点击放大，

     放大后的图片将会更加清晰。

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3、如有疑问，欢迎追问，有问必答。

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Answer 3

同济高数（第七版下）P280,281页 例6

Answer 4

那是利用幂级数算出来的。

Answer 5

莱布尼兹用了就收敛了吗，你这个极限为0吗，要有两个条件好吧