（2013?崇左）抛物线y=-x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（-1，0）、（3，0），设平移后的抛物

Question

（2013?崇左）抛物线y=-x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（-1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；（2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵将抛物线y=-x²平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），
∴平移后的抛物线的表达式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，即y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）∠ACB与∠ABD相等，理由如下：
如图，∵y=-x²+2x+3，
∴点x=0时，y=3，即C点坐标为（0，3），
又∵B（3，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．
在△BCD中，∵BC²=3²+3²=18，CD²=1²+1²=2，BD²=2²+4²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD=

CD

BC

=

2 18

=

1

3

，
∵在△AOC中，∠AOC=90°，
∴tan∠ACO=

OA

OC

=

1

3

，
∴tan∠ACO=tan∠CBD，
∴∠ACO=∠CBD，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，
即∠ACB=∠ABD；

 （3）∵点P在平移后的抛物线的对称轴上，而y=-x²+2x+3的对称轴为x=1，
∴可设P点的坐标为（1，n）．
∵△ABC是锐角三角形，
∴当△CDP与△ABC相似时，△CDP也是锐角三角形，
∴n＜4，即点P只能在点D的下方，
又∵∠CDP=∠ABC=45°，
∴D与B是对应点，分两种情况：
①如果△CDP∽△ABC，那么

CD

AB

=

DP

BC

，
即

2

4

=

4?n

3 2

，
解得n=

5

2

，
∴P点的坐标为（1，

5

2

）；
②如果△CDP∽△CBA，那么

CD

CB

=

DP

AB

，
即

2

3 2

=

4?n

4

，
解得n=

8

3

，
∴P点的坐标为（1，

8

3

）．
综上可知P点的坐标为（1，

5

2

）或（1，

8

3

）．