仔细观察下列四个等式1×2×3×4+1=25=5 2 2×3×4×5+1=121=11 2 3×4×5×6+1=361=19 2 4×5×6×7+1=841=29 2 (1)观察上述计算结果,找出它们的共同特征.(2)以上特征,对于任意给出的四个连续正整数的积与1的和仍具备吗?若具备,试猜想,第n个等式应是什么?给出你的思考过程(3)请你从第10个式子以后的式子中,再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论.
(1)都是完全平方数…(3分); (2)仍具备.也都是完全平方数…(5分); 仔细观察前5个算式与其结果的关系,发现: 1×2×3×4+1=(1×4+1) 2 2×3×4×5+1=(2×5+1) 2 3×4×5×6+1=(3×6+1) 2 4×5×6×7+1=(4×7+1) 2 5×6×7×8+1=(5×8+1) 2 … 因此,猜想:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)+1] 2 =(n 2 +3n+1) 2 . 即,第n个等式是:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n 2 +3n+1) 2 …(8分) (3)如11×12×13×14+1=24024+1=24025. (11 2 +3×11+1) 2 =(121+33+1) 2 =155 2 =24025. ∴11×12×13×14+1=(11 2 +3×11+1) 2 . 猜想正确 …(10分) |