矩阵A的秩为+r,A²=0,求若尔当标准型

Question

如题所述

Answer 1

由于 A 的秩为 r，因此 A 的零空间维度为 n-r，其中 n 表示矩阵 A 的列数和行数相等的维数。此外，根据 A 的平方等于零，我们知道 A 的所有特征值都必须为 0。
根据矩阵若尔当标准型的定义，若干阶矩阵可以分解成若干个 Jordan 块之和，其中每个 Jordan 块有如下形式：
Ji = λiI + Ni，
其中 λi 是矩阵的特征值（本题中为 0），I 是单位矩阵，而 Ni 是一个由若干个元素为 1 的下对角矩阵组成的矩阵。
对于本题中的矩阵 A，由于 A 的所有特征值都为 0，因此矩阵的若尔当标准型形式为：
J = [N1, N2, ..., Nr, 0, 0, ..., 0]
其中 Ni 是一个 k×k 的下对角矩阵，而矩阵 J 有 r 个 Jordan 块，并且从左往右排列，其中每个 Jordan 块的大小为 k×k。另外，J 中剩余的部分都是由元素为 0 的矩阵组成，总大小为 (n-r)×(n-r)。
因为 A 的平方等于零，所以矩阵 A 的若尔当标准型中，所有的下对角矩阵的非零元素都必须为 1，而对角线上的元素也都为 0。因此，对于本题中的矩阵 A，其若尔当标准型形式为：
J = [0, 1, 0, 0, ..., 0, 0, 0]
[0, 0, 1, 0, ..., 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, ..., 0, 0, 0]
...
[0, 0, 0, 0, ..., 0, 1, 0]
[0, 0, 0, 0, ..., 0, 0, 0]
这就是矩阵 A 的若尔当标准型。