二重积分直角坐标系与极坐标系相互转化的计算习题

Question

请问这里面的1/(cos +sin)是怎么样得到？ps 下面那个图是该二重积分的D区域的直角坐标系的图

Answer 1

　　这里，要把积分区域还原成
　　D = {(x, y); 1-x≤y≤√(1-x²), 0≤x≤1} (作图)
　　　= {(x, y); 1/(cosθ+sinθ)≤r≤1, 0≤θ≤π/2}，
这样
　　g.e. = ∫∫D[(x+y)/(x²+y²)]dxdy
　 　　= ∫∫D[r(cosθ+sinθ)/r²]rdrdθ
　 　　　= ∫[0,π/2]dθ∫[1/(cosθ+sinθ),1](cosθ+sinθ)dr
　 　　　= ∫[0,π/2]{(cosθ+sinθ)*[1-1/(cosθ+sinθ)]}dθ
　 　　　= ∫[0,π/2][(cosθ+sinθ)-1]dθ
　 　　　= ……

注：1/(cosθ+sinθ)≤r 这样得到：
1-x≤y <==> 1≤y+x <==> 1≤r(cosθ+sinθ) <==> 1/(cosθ+sinθ)≤r