设A是一个n*n可逆矩阵，B是一个n*n矩阵，那么求方

Question

设A是一个n*n可逆矩阵，B是一个n*n矩阵，那么求方程AX=B的解的方法是：把A写在左边，B写在右边组成一个n*2n的矩阵，利用初等变换把A化为单位矩阵，那么此时B就化为矩阵X。请给出理论证明

Answer 1

注意，下面的过程是解AX=B，
当令B=单位矩阵E时，即是求A的逆矩阵。
注意，下面的过程是解AX=B，
当令B=单位矩阵E时，即是求A的逆矩阵。

原理是：
增并矩阵(矩阵并列在一起，我也称为并矩阵。多个类同量并在一起，我称为并量。)
A|B，或写成A,B
进行初等变换后得到E|X
因为做行初等变换，相当于左乘了某个初等变换方阵P
即P*(A,B)=(E,X)
显然有PA=E, PB=X
故P=A^(-1), 故PB=X=A^(-1)B，这就是所求。

实际上，我们进行变换的过程中，处在X位的每一个矩阵，都在不知不觉的记录我们的变换动作。当A变成B时，记下来的动作P,就是AX=B的解。
同时，它也就是累积起来的变换过程，即各个初等矩阵的积。

注：
求解矩阵方程，用行初等变换方法是一种较好的思路。
注：与之对称的用列初等变换也行，按通行人们先横向从左到右，再竖向从上到下的书写习惯，若是使用列变换解AX=B，需先等价转化：AX=B，也相当于X'*A'=B',
若是使用列变换解AX=E，则可直接使用列变换：AX=E<=>AX=E.

行初等变换施加于方阵A，相当于对方阵A左乘了一个基本的初等变换矩阵。
这种变换方法，通常利用到了单位矩阵，但其实把原理弄清楚了，是可以活学活用的。
要说明的重要一点是，过程中不是用的基本的初等变换也是可以的，只要所用到的变换是可逆变换就行；
最后的结果，得到一个方便计算的对角矩阵就行，也不一定要是E。
比如：
下面Λ是对角方阵，即各个主对线元为常数，其它元为0的方阵。
A|B ，或写成A,B
进行可逆变换后得到Λ|Y
因为做行可逆变换，相当于左乘了某个可逆方阵P
即P*(A,B)=(Λ,Y)
显然有PA=Λ, PB=Y
故P=Λ*A^(-1), 故Y=Λ*A^(-1)*B，
而令X=Λ^(-1)*Y即可，即是将Y的各个行分别除以Λ的各个对角元即是结果。

其实还可以这样做，
利用原来的行，做任意的非奇异变换（线性无关变换），得到一些行；
在变换得到的行中，挑出三个行，构成的矩阵中，后面的Y位置的矩阵为对角阵，就行了。
那样自在极了，方便极了，过程可以简省书写，思路也开阔多了！追问

故P=A^(-1), 故PB=X=A^(-1)B，是不是还要说X=A^(-1)B，所以有，，，

Answer 2

按照这种做法只能用行变换, 否则无法保证结果正确

如果用初等行变换, 那么想当于左乘初等矩阵, 所以
Lk..L1[A|B]=[I|*] => Lk...L1A=I, 即 Lk...L1=A^{-1}, 那么Lk...L1B=A^{-1}B就是要求的解