m、n为整数,36m+22n=218,求m,n为多少？

如题所述

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推荐答案 2023-03-03

首先，我们可以将36m + 22n = 218变形为18m + 11n = 109，进一步变形为11n = 109 - 18m。

由于n和m均为整数，因此可以列出n对11取余数的方程式，即：

11n ≡ 109 - 18m (mod 11)

因为11 ≡ 0 (mod 11)，109 ≡ 3 (mod 11)，18 ≡ 7 (mod 11)，所以上述方程可以简化为：

0 ≡ 3 - 7m (mod 11)

移项可得：

7m ≡ 3 (mod 11)

因为7和11互质，所以可以通过扩展欧几里得算法求解方程7x + 11y = 1的一组解，即x = 8，y = -5。两边同时乘以3，得到：

21m ≡ 9 (mod 11)

化简可得：

10m ≡ 9 (mod 11)

因为10和11互质，所以可以通过同余方程的逆元求解，即10在模11意义下的逆元是10本身，因此：

m ≡ 9 × 10 ≡ 7 (mod 11)

代入原方程，得到：

n = (109 - 18m) / 11 = (109 - 18 × 7) / 11 = 5

因此，方程36m + 22n = 218的整数解为m = 7，n = 5。

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第1个回答 2023-03-03

我们可以使用整数解法来解决这个问题。首先，我们找到 $18$ 和 $11$ 的最大公约数。可以发现，它们的最大公约数是 $1$。因此，我们知道这个方程有整数解。
接下来，我们需要找到一组特解。我们可以通过试除法来找到一个特解。我们可以将 $m$ 从 $1$ 开始依次试除，直到找到一个 $m$ 使得 $18m+11n=109$ 有整数解。我们可以发现，当 $m=3$ 时，$18m+11n=109$ 有整数解，即 $n=5$。
因此，我们找到了一个特解 $(m,n)=(3,5)$。接下来，我们需要找到这个方程的通解。我们可以使用以下公式来求解：
$$m=m_0+\frac{n}{\gcd(18,11)}k$$
$$n=n_0-\frac{m}{\gcd(18,11)}k$$
其中，$m_0$ 和 $n_0$ 是特解，$\gcd(18,11)=1$，$k$ 是任意整数。
将特解代入公式中，我们得到：
$$m=3+11k$$
$$n=5-18k$$
因此，这个方程的所有整数解为 $(m,n)=(3+11k,5-18k)$，其中 $k$ 是任意整数。

第2个回答 2023-03-03

我们可以使用辗转相除法来求解 $m$ 和 $n$。具体步骤如下：
<ol>
<li>用 $18$ 除以 $11$，得到商 $1$，余数 $7$。</li>
<li>用 $11$ 除以 $7$，得到商 $1$，余数 $4$。</li>
<li>用 $7$ 除以 $4$，得到商 $1$，余数 $3$。</li>
<li>用 $4$ 除以 $3$，得到商 $1$，余数 $1$。</li>
<li>用 $3$ 除以 $1$，得到商 $3$，余数 $0$。</li>
</ol>
因为最后的余数为 $0$，所以 $11n+18m=109$ 有整数解。根据辗转相除法的结果，我们可以得到：
$$1 = 3 - 1 \times 1$$
$$1 = 1 - 1 \times 3 + 1 \times 1$$
$$1 = -1 \times 4 + 2 \times 3 - 1 \times 1$$
$$1 = 3 \times 11 - 5 \times 7$$
$$109 = 11 \times 109 - 18 \times 67$$
因此，$m=-67$，$n=109$，满足 $36m+22n=218$。

第3个回答 2023-03-03

109是18和11的一个线性组合，因此我们可以使用扩展欧几里得算法来求解m和n的值。
以下是求解过程：
<ul>
<li>
首先，使用欧几里得算法求出18和11的最大公约数：
18 = 11 × 1 + 7
11 = 7 × 1 + 4
7 = 4 × 1 + 3
4 = 3 × 1 + 1
因此，最大公约数为1。
</li>
<li>
接下来，使用扩展欧几里得算法求出18和11的一个解：
1 = 4 - 3 × 1
= 4 - (7 - 4 × 1) × 1
= 2 × 4 - 7
= 2 × (11 - 7 × 1) - 7
= 2 × 11 - 3 × 7
因此，一个解为m0 = 2，n0 = -3。
</li>
<li>
最后，我们可以通过通解公式求出18m + 11n = 109的所有解：
m = m0 + 11k
n = n0 - 18k
其中，k为任意整数。
将m0和n0代入上式，得到：
m = 2 + 11k
n = -3 - 18k
因此，m和n的取值为：
m = 2, 13, 24, ...
n = -3, -21, -39, ...
但由于题目要求m和n为整数，因此只有m = 2, n = -3符合要求。
因此，36m 22n=218的解为m = 2，n = -3。
</li>
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第4个回答 2023-03-03

因此m必须是11的倍数。
尝试令m=11，得到18×11+11n=109，解得n=-1。
因此，m=11，n=-1。

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