一个整数，除以9，余数最大是多少？

Question

如题所述

Answer 1

满足题意的一个正整数是999。
下面是对这个问题的一种简单的求解过程：
首先，设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，那么它除以9的商就是(a+b+c)^2。
接着，假设它是9的倍数，那么它应该等于9乘以某个自然数n，即这个三位数为9n，且它的各位数字之和也为9n。
所以，可以建立如下关系：
(a+b+c)^2 = 9n
将上式展开，得到：
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9n
注意到，a^2 + b^2 + c^2 和 2ab + 2ac + 2bc 可以分解为：
a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc)
2ab + 2ac + 2bc = 2(a+b+c)(a+b+c)
代入上面的关系式，可以得到：
(a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc) + 2(a+b+c)(a+b+c) = 9n
简化一下得到：
(a+b+c)^2 + (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc) = 9n
于是可以得到 a+b+c 的值为 9 或者 18。
接下来，我们可以对两种情况分别进行枚举：
当 a+b+c = 9 时，我们可以枚举 a,b,c 的组合，尝试满足 ab+ac+bc = 9k^2 (k∈N)，即可得到符合条件的数字。
当 a+b+c = 18 时，我们可以枚举 a,b,c 的组合，尝试满足 ab+ac+bc = 9k^2 (k∈N)，即可得到符合条件的数字。 通过这种方式，我们可以得到多个满足条件的三位数，其中包括999。