已知函数g(x)=1/（xsinθ）+lnx在（1，+∞）上单调递增，且θ∈（0，π），f(x)=mx-(m-1+2e)/x，

Question

已知函数g(x)=1/（xsinθ）+lnx在（1，+∞）上单调递增，且θ∈（0，π），f(x)=mx-(m-1+2e)/x，若在[1,e]上至少存在一个x0,使得F(x0)>g(x0)成立
（1）求θ的值
（2）求m的范围

Answer 1

解答：
(1) g'(x)=-1/(sinθ*x²)+1/x=(sinθ*x-1)/x²
∵ 在[1,+∞）上是增函数
∴ g'(x)=(sinθ*x-1)/x²≥0在[1,+∞）上恒成立
∴ sinθ*x-1≥0在[1,+∞）上恒成立
∵ sinθ>0
∴ sinθ*x-1的最小值是sinθ-1
∴ sinθ-1≥0
∴ sinθ≥1
即 sinθ=1
∴ θ=π/2
(2) g(x)=1/x+lnx
∴ F(x)=mx-m-2e/x
在[1，e]上存在x0,使得F(x0)大于0成立
即 mx-m-2e/x>0在[1，e]上能成立
即 m(x-1)>2e/x在[1，e]上能成立
∵ x=1时显然成立
即 m>2e/[x(x-1)] 在（1，e]上能成立
G(x)=2e/[x(x-1)]=2e/[(x-1/2)²-1/4]
∴ G(x)的最小值是2e/[e(e-1)]=2/(e-1)
∴ m>2/(e-1)
即m的取值范围是m>2/(e-1)追问

m>=(3e)/e^2-1,用单调性做的

追答

嗯