一道高一数学题：已知定义在R上的函数f(x)对任意的m,n都满足f(m+n)=f(m)f(n)+f(m)+f(n)

Question

一道高一数学题：已知定义在R上的函数f(x)对任意的m,n都满足f(m+n)=f(m)f(n)+f(m)+f(n),当x＞0时，f(x)＞0且f(1)=1问：
（1）：令m=1,n=0可求出f(0)=0类似的求出f(-1)=什么？f(2)=什么？
（2）：令m=x,n=-x,f(-x)+1=1/(f(x)+1)求出f（x）的范围？
（3）：证明f(x)在R上是增函数？
（4）：结合以上探索求出F(x)=[f(x)-1](x-2)的零点为？
（5）：写出一个满足条件的函数f(x)?
要有过程哦~答案好的有加分！！！

Answer 1

解：有题意知
(1)f(0)=f[1+(-1)]=f(1)f(-1)+f(1)+f(-1)得f(-1)=-1/2
f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)+f(1)+f(1)=3
(2)由题知 当x＞0时，f(x)＞0
当x<0时，-x＞0，f(-x)＞0，因为f(-x)+1=1/(f(x)+1)可得-1<f(x)<0
综上 当x＞0时，f(x)＞0; 当x<0时，-1<f(x)<0; 当x=0时，f(x)=0
所以：f(x)>-1
(3)当a>b>0时f[(a-b)+b]-f(b)=f(a-b)f(b)+f(a-b)+f(b)-f(b)= f(a-b)(f(b)+1)因为a-b>0,所以f(a-b)>0,
f(x)>-1所以(f(b)+1)>0
所以 f(a-b)(f(b)+1>0 所以得f(x)在R上是增函数
(4)F(x)=[f(x)-1](x-2）=0，所以f(x)-1=0或x-2=0，所以x=1或x=2，所以
有两个零点。
（5） f(x)=2^x-1

Answer 2

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Answer 3

打电话问114，要不打10086人工服务问问也行。

Answer 4

f(0)=f(x)f(-x) f(x) f(-x)=0 推出(f(x) 1)(f(-x) 1)-1=0 又f(1)=1推出f(-1)=-1；f(2)=f(1 1)=3；

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Answer 5

(1)f(0)=f[1+(-1)]=f(1)f(-1)+f(1)+f(-1)得f(-1)=-1/2
f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)+f(1)+f(1)=3
(2)由题知 当x＞0时，f(x)＞0 f(-x)+1=1/(f(x)+1) 则-1<f(-x)<0
综上 当x＞0时，f(x)＞0; 当x<0时，-1<f(x)<0;当x=0时，f(x)=0
则f(x)>-1
(3)当a>b>0时f(a-b)=f(a)f(-b)+f(a)+f(-b) 因为f(-x)+1=1/(f(x)+1)
所以f(-b)=-f(b)/(f(b)+1) 则f(a-b)=[f(a)-f(b)]/(f(b)+1)
因为f(a-b)>0 f(b)+1>0所以f(a)-f(b)>0
综上得f(x)在R上是增函数
(4)显然当x=2时F(x)=0
当x=1时F(x)=0 当x<1时F(x)单调递减 所以F(x)在x<1无零解
当x>2时F(x)单调递增 所以F(x)在x>2无零解
又f(x)在R上是单调函数则f(x)-1也是增函数（x-2）也是单调函数 所以F(x)在1<x<2之间无零解
综上只有两个零解

Answer 6

(1)f(0)=f[1+(-1)]=f(1)f(-1)+f(1)+f(-1)得f(-1)=-1/2
f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)+f(1)+f(1)=3

Answer 7

（一)由f(1)=1,f(0)=0及题设，可令m=1,n=-1.则有0=f(0)=f(1-1)=f(1)f(-1)+f(1)+f(-1)=1+2f(-1).==>f(-1)=-1/2.再令m=n=1,则有f(2)=f(1)f(1)+f(1)+f(1)=3.∴f(1)=1,f(0)=0,f(-1)=-1/2,f(2)=3.(二）由题设，可令m=x,n=-x,则有0=f(0)=f(x)f(-x)+f(x)+f(-x).两边加1，(f(x)+1)(f(-x)+1)=1.f(x)+1=1/[f(-x)+1].当x＜0时，-x＞0.==>f(-x)＞0.==>1+f(-x)＞1.==>0＜1/[1+f(-x)]＜1.==>0＜1+f(x)＜1,==>-1＜f(x)＜0.当x=0时，f(0)=0.当x＞0时，f(x)＞0.综上可知，在R上，f(x)＞-1.(三）由题设可知，f(b)=f[(b-a)+a]=f(b-a)f(a)+f(b-a)+f(a).===>f(b)-f(a)=[1+f(a)]f(b-a).∵当-∞＜a＜b＜+∞时，f(a)＞-1,f(b-a)＞0.===>f(a)＜f(b).∴在R上，f(x)递增。（四）∵函数f(x)在R上递增，且f(1)=1.∴存在唯一的x=1,使得f(x)-1=0.显然，函数F(x)=[f(x)-1](x-2)有两个零点，x1=1,x2=2.(五）f(x)=-1+2^x.x∈R.