已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2√Sn=an+1，n∈N^* （1）试求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1/an*an+1

Question

数列{bn}的前n项和为Bn，求证：Bn＜1/2.

Answer 1

解：(1)先求a1，令n=1，则S1=a1，则2√a1=a1+1；
解得a1=1；
由2√Sn=an+1得Sn=(an+1)²/4；
当n≥2时，有an=Sn-S(n-1)，则
an=((an+1)²/4)-((a(n-1)+1)²/4)；
化简得(an+a(n-1))(an-a(n-1)-2)=0；
则an=-a(n-1)或an-a(n-1)=2；
题目要求an是正数数列，由an=-a(n-1)求得a2=-a1=-1<0，此种结果舍去。
所以an是首项为1，公差为2的等差数列，则an=1+(n-1)×2=2n-1，
当n=1时，也适合an=2n-1
所以数列{an}的通项公式是an=2n-1；
(2)
bn=1/(ana(n+1))=1/((2n-1)(2n+1))
=[(1/(2n-1))-(1/(2n+1))]/2；
（用裂项求和法，来求Tn）
则Tn=b1+b2+b3+........+bn
=(1/2)[1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.......+(1/(2n-1))-(1/(2n+1))]
=[1-1/(2n+1)]/2
即Tn=[1-(1/(2n+1))]/2
∵2n+1>0，
∴0<1/(2n+1)<1，
∴-1<-(1/(2n+1))<0，
∴0<1-(1/(2n+1))<1，
∴0<(1-(1/(2n+1)))/2<1/2，
即0<Tn<1/2