从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成60°角，则二面角A-PB-C的余弦值是______

Question

从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成60°角，则二面角A-PB-C的余弦值是______．

Answer 1

在射线PB上取一点M，过M作MA、MC垂直于PB分别相交射线PA、PC于点A、C，连接AC 由图看出，在直角△PAM中，∠APM=60°，令PM=a，则AP=2a AM= 3 a 同样，在直角△PCM中，∠CPM=60°，令PM=a，则CP=2a CM= 3 a 由于∠APC=60°，PA=PC=2a 所以△PAC为等边三角形，AC=2a 在△ACM中，作AN垂直于CM于点N，令MN=b，CN= 3 a-b，AN=x，由勾股定理，△AMN中 （ 3 a） 2 -x 2 =b 2 △ACN中 （2a） 2 -x 2 =（ 3 a-b） 2 联合两式消去x整理的，a= 3 b 即 b a = 3 3 ， b 3 a = 1 3 所以 cosM= b 3 a = 1 3 ∴二面角A-PB-C的余弦值是 1 3 故答案为： 1 3