正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,e为b1c的中点,求三棱锥a-ded1外接球的半经

Question

如题所述

Answer 1

为方便，用大写字母。取AD1的中点M，AD的中点K。链接KE，KM，ME。由于M为三角形ADD1的外心，ME垂直于平面ADD1，故知道ME上的任意点到A，D，D1等距离。
在三角形ADE中，取DE的中点F，作FG垂直于DE，交KE于G。知G外三角形ADE的外心。在平面MKE中，作GH垂直于KE，交ME于H。易证GH垂直于三角形ADE所在平面。即知GH上任意点到A，D，E等距离。
由此知H为所说三棱锥的外接球的球心。而HE为其半径。以下HE。
容易知道：
KE=根号（1+1/4）=（根号5）/2。
DE=根号（1/4+5/4）=（根号6）/2。
三角形DKE与GFE相似，
得GE/DE=FE/KE，
求得GE=3*（根号5）/10。
在三角形MKE中，三角形MKE相似于GHE。有HE/KE=GE/ME，求的
HE=3/4。即为所求。