高数微积分，三角函数求极限的问题请问划

如题所述

第1个回答 2017-12-31

解：分享一种解法，用无穷小量替换。x→0时，ln(1+x)~x-(1/2)x^2，e^x~1+x，
∵e^[(1+x)^(1/x)]=e^{e^[(1/x)ln(1+x)}，∴e^[(1+x)^(1/x)]~e^[e^(1-x/2)]=e^[e*e^(-x/2)]~e^[e(1-x/2+(1/8)x^2]={e^[e(1-x/2]}*e^(e/8)x^2，
同理，(1+x)^(e/x)=e^[(e/x)ln(1+x)]，∴(1+x)^(e/x)~e^[e(1-x/2)]，
∴原式=lim(x→0){e^[e(1-x/2)]}[e^(e/8)x^2-1]/x^2=lim(x→0){e^[e(1-x/2)]}[1+(e/8)x^2-1]/x^2=(1/8)e^(e+1)。
供参考。

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