证明:
在图2-6中,作AH⊥BC于H。为了明确起见,设H和C在点D的同侧,那么由广勾股定理 有:
AC²=AD²+DC²-2DC·DH······(1)
AB²=AD²+BD²+2BD·DH······(2)
用BD乘(1)式两边得:
AC²·BD=AD²·BD+DC²·BD-2DC·DH·BD······①
用DC乘(2)式两边得:
AB²·DC=AD²·DC+BD²·DC+2BD·DH·DC······②
由 ① + ② 得到:
AC²·BD+AB²·DC=AD²·(BD+DC)+DC²·BD+BD²·DC
=AD²·BC+BD·DC·BC。
∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
或者根据余弦定理得:
AB²=PB²+PA²-2PB·PA·cos∠APB
AC²=PA²+PC²-2PA·PC·cos∠APC
对上述两式分别乘以BP,PC后相加整理,化简即可(注:图中2-7A点为P点,BDC点依次为ABC)。
斯特瓦尔特定理的逆定理成立。