斯特瓦尔特定理的证明方法

Question

如题所述

Answer 1

证明：
在图2－6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理 有：
AC²=AD²+DC²-2DC·DH······（1）
AB²=AD²+BD²+2BD·DH······（2）
用BD乘(1)式两边得：
AC²·BD=AD²·BD+DC²·BD-2DC·DH·BD······①
用DC乘(2)式两边得：
AB²·DC=AD²·DC+BD²·DC+2BD·DH·DC······②
由 ① + ② 得到：
AC²·BD+AB²·DC=AD²·(BD+DC)+DC²·BD+BD²·DC
=AD²·BC+BD·DC·BC。
∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
或者根据余弦定理得：
AB²=PB²+PA²-2PB·PA·cos∠APB
AC²=PA²+PC²-2PA·PC·cos∠APC
对上述两式分别乘以BP，PC后相加整理，化简即可（注：图中2-7A点为P点，BDC点依次为ABC)。
斯特瓦尔特定理的逆定理成立。

Answer 2

定理定义
设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有：
AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
验证推导
证法一
已知：如图2－6所示，在△ABC中，点D是线段BC上的一点，连接AD。
求证：AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
证明：如图2－6所示，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧。
由广勾股定理[2]有：
AC2=AD2+DC2-2DC·DH··
证法二
已知：如图2－6所示，在△ABC中，点D是线段BC上的一点，连接AD。
求证：AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
证明：
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴cos∠BDA+cos∠CDA=0
根据余弦定理得：
AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA······（1）
AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠CDA······（2）
用CD乘（1）式两边得：
AB2·CD=BD2·CD+AD2·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA
用BD乘（4）式两边得：
AC2·BD=CD2·BD+AD2·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
由 （3）+（4） 得到：
AB2·CD+AC2·BD
=BD2·CD+AD2·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA+CD2·BD+AD2·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
=(BD2·CD+CD2·BD)+(AD2·CD+AD2·BD)-(2BD·AD·CD·cos∠BDA+2CD·AD·BD·cos∠CDA)
=BD·CD·(BD+CD)+AD2·(CD+BD)-2BD·AD·CD·(cos∠BDA+cos∠CDA)
=BD·CD·BC+AD2·CD-2BD·AD·CD·0
=BD·CD·BC+AD2·CD
∴AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。