ydx-xdy为什么不是某个二元函数的全微分?

Question

如题所述

Answer 1

在二元函数的情况下，一个充分必要条件是关于这个全微分为某个函数的梯度的向量场是保守向量场。一个向量场是保守的，当且仅当它满足某些特定的性质，如它的旋度为零。然后我们需要检查函数 f(x, y) = ydx - xdy 是否满足这些性质。
给定函数 f(x, y) = ydx - xdy，我们可以计算其偏导数：
df/dx = ∂(ydx)/dx - ∂(x dy)/dx = y - 0 = y
df/dy = ∂(ydx)/dy - ∂(x dy)/dy = 0 - x = -x
现在我们计算这个向量场的旋度。旋度是一个向量场中的一个局部量，用于衡量场的旋转特性。在二维平面上，旋度是一个标量，定义为：旋度(F) = ∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y，其中 F_x 和 F_y 是向量场的 x 和 y 分量。
我们已经得到了梯度向量的分量 df/dx = y 和 df/dy = -x。计算这个向量的旋度：
旋度(F) = ∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y = (∂(-x)/∂x) - (∂y/∂y) = -1 - 1 = -2
由于旋度不为零，我们可以得出结论：函数 f(x, y) = ydx - xdy 不是某个二元函数的全微分。也就是说，我们无法找到一个二元函数 F(x, y)，使得该函数关于 x 和 y 的偏导数生成 y dx - x dy。