△ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（与点B、C不重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作EF

Question

△ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（与点B、C不重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作EF∥BC，交射线AC于点F，连结BE．（1）如图1，当点D在线段BC上运动时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCFE是怎样的四边形？并说明理由；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上运动时，请直接写出（1）的两个结论是否依然成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCFE是菱形？并说明理由．

Answer 1

（1）①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠EAB=∠CAD，
在△AEB和△ADC中，

AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AD

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
②四边形BCFE是平行四边形，
理由：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ACD=∠BAC=∠ABE=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EBC+∠ACD=180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形；

（2）①△AEB≌△ADC；②四边形BCFE是平行四边形均成立；
①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠EAF=∠BAC-∠EAF，即∠EAB=∠CAD，
在△AEB和△ACD中，

AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AD

，
∴△AEB≌△ACD（SAS）；
②四边形BCFE是平行四边形，
理由：由①得△AEB≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB，
又∵∠ADE=∠ADC+∠BDE=60°，
∴∠AEB+∠BDE=60°，
∵BC∥EF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴∠AEB+∠DEF=60°，
∴∠BEF+∠F=180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形；

（3）当点D运动到CD=BC时，四边形BCFE是菱形，
理由：∵△AEB≌△ADC，
∴CD=BE，
又∵CD=BC，
∴BE=BC，
∵四边形BCFE是平行四边形，
∴四边形BCFE是菱形．