线性代数a单位列向量a乘以a的转置的秩是多少为什么

Question

如题所述

Answer 1

对于线性代数中的单位列向量$\mathbf{a}$，其满足$\mathbf{a}^T\mathbf{a} = 1$（其中$\mathbf{a}^T$是$\mathbf{a}$的转置向量），这是因为单位向量的模长为1，且其与自己的点积等于其模长的平方。
当单位列向量$\mathbf{a}$乘以它的转置$\mathbf{a}^T$时，得到的结果是一个矩阵，记作$A = \mathbf{a}\mathbf{a}^T$。这个矩阵$A$是一个方阵，其维度等于$\mathbf{a}$的维度。
由于$\mathbf{a}$是非零向量，$A$中至少有一个元素（即对角线上的元素，等于$\mathbf{a}$的模长的平方，即1）是非零的。因此，$A$的列向量（或行向量，因为$A$是对称的）是线性无关的。在矩阵理论中，一个矩阵的秩是其列向量（或行向量）中线性无关向量的最大数量。
所以，对于矩阵$A = \mathbf{a}\mathbf{a}^T$，其秩为1，因为所有列（或行）都是单位向量$\mathbf{a}$的标量倍，因此它们是线性相关的，但矩阵本身至少包含一个非零元素，所以其秩不为0。综上，$A$的秩为1。